Алгоритмические преимущества пропускной способности по сравнению с древовидной

Treewidth играет важную роль в алгоритмах FPT, отчасти потому, что многие проблемы FPT параметризуются с помощью treewidth. Связанное, более ограниченное понятие - это пропускная способность. Если граф имеет ширину пути , он также имеет ширину дерева не более , в то время как в обратном направлении ширина дерева подразумевает только ширину пути не более и это ограничено. $k$ $k$ $k$ $k\log n$

Учитывая вышеизложенное, можно ожидать, что может быть значительное алгоритмическое преимущество для графов ограниченной ширины пути. Однако, кажется, что большинство проблем, которые являются FPT для одного параметра, являются FPT для другого. Мне любопытно узнать какие-либо контрпримеры к этому, то есть проблемы, которые «легки» для пропускной способности, но «трудны» для ширины дерева.

Позвольте мне упомянуть, что я был мотивирован, чтобы задать этот вопрос, наткнувшись на недавнюю работу Игоря Разгона («Об OBDD для CNF с ограниченной шириной дерева», KR'14), в которой приведен пример проблемы с решением когда является шириной пути и (приблизительно) нижней границей, когда является шириной дерева. Мне интересно, существуют ли другие образцы с таким поведением. $2^{k}n$ $k$ $n^k$ $k$

Резюме: Есть ли примеры естественных проблем, которые W-hard параметризованы по ширине дерева, но FPT параметризован по ширине пути? В более широком смысле, есть ли примеры проблем, сложность которых, как известно / считается, намного лучше, если они параметризуются по ширине пути, а не по ширине дерева?

parameterized-complexity treewidth graph-minor

— Майкл Лэмпис
источник

Есть проблемы, которые легки на дорожках, но NP-Hard на деревьях. К ним относятся минимальный мультипоток и максимальный целочисленный мультипоток.

— Чандра Чекури

@ChandraChekuri Это хороший момент, но обобщают ли алгоритмы путей для таких задач обычно пропускную способность? Например, для max integer multiflow я думаю, что это не так. Гарг, Вазирани и Яннакакис доказали NP-твердость для деревьев в «Алгоритмах примал-двойного приближения для интегрального потока и мультирезки в деревьях». Для уменьшения используется дерево высоты 3. Это означает, что проблема постоянна для постоянной длины пути.

— Майкл Лэмпис

Это опять не чистый ответ на оригинальный вопрос. Известно, что промежуток обрыва потока в графах ширины пути k ограничен функцией f (k) для некоторой функции f благодаря результату Ли и Сидиропулоса. Это важная открытая проблема, имеет ли место такой результат для ширины дерева. Случай k = 3 является открытым для длины дерева.

— Чандра Чекури

Лучший алгоритм для гамильтонова цикла, параметризованный по ширине пути, имеет время выполнения

(arxiv.org/abs/1211.1506), в то время как лучшая ширина дерева равна

(arxiv.org/abs/1103.0534). Это, вероятно, всего лишь пробел, ожидающий закрытия.

(2 + \sqrt{2})^{p w}

$(2+\sqrt{2})^{pw}$

4^{t w}

$4^{tw}$

— Даниелло

Показано, что [1] смешанная китайская проблема почтальона (MCPP), параметризованная по ширине пути, является -твердой, даже если все ребра и дуги входного графа имеют вес и равны FPT относительно глубины дерева. Это первая проблема, о которой известно, что было показано, что она является -твердой по отношению к ширине дерева, а FPT - по глубине дерева. Обратите внимание, что ширина пути графа лежит между шириной дерева и глубиной дерева. $W[1]$ $G$ $1$ $W[1]$

Проблема Штейнера Multicut, который спрашивает, учитывая неориентированный граф , коллекция , , наборов терминалов размером не более и целым числом , существует ли набор из не более чем ребер или узлов, таких что каждый набор по меньшей мере, один пара терминалов в разных компонентах связности . $G$ $T = \{T_1, . . . , T_t\}$ $T_i ⊆ V(G)$ $p$ $k$ $S$ $k$ $T_i$ $G \ S$

$W[1]$ $k$ $p = 3$ $tw(G) = 2$

[1] https://core.ac.uk/download/pdf/77298274.pdf

[2] http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2015/4911/pdf/11.pdf

— Рупей Сюй
источник