Арифметические схемы с одним порогом

Когда ограничение ограничено - входами, каждая -схема вычисляет некоторую функцию . Чтобы получить булеву функцию, мы можем просто добавить один пороговый вентиль fanin-1 в качестве выходного вентиля. На входе результирующая пороговая схема - выводит если , и выдает если ; порог может быть любым положительным целым числом, которое может зависеть от0 1 { + , × } F ( x 1 , … , x n ) F : { 0 , 1 } n → $0$$1$$\{+,\times\}$$F(x_1,\ldots,x_n)$$F:\{0,1\}^n\to \mathbb{N}$$a\in\{0,1\}^n$ $\{+,\times\}$1 F ( a ) ≥ t 0 F ( a ) ≤ t - 1 t = t n$1$$F(a)\geq t$$0$$F(a)\leq t-1$$t=t_n$$n$но не на входных значениях. Результирующая схема вычисляет некоторую (монотонную) булеву функцию .$F':\{0,1\}^n\to \{0,1\}$

Вопрос: Может ли пороговая -цепь эффективно моделироваться -цепью? { + , × } { ∨ , ∧ $\{+,\times\}$$\{\lor,\land\}$

Под «эффективно» я подразумеваю «с максимальным полиномиальным увеличением размера». Ответ ясен "да" для порога : просто замените на \ lor , \ times на \ land и удалите последние пороговые значения. То есть \ {\ lor, \ land \} -схемы на самом деле являются пороговыми- 1 \ {+, \ times \} -схемами. Но как насчет больших порогов, скажем, t = 2 ? t = 1 + ∨ × ∧ { ∨ , ∧ } 1 { + , × } t = $t=1$$+$$\lor$$\times$$\land$$\{\lor,\land\}$$1$ $\{+,\times\}$$t=2$

Можно определить арифметические аналоги $\#C$ большинства классов логических цепей $C$ , просто используя $+$ вместо OR, $\times$ вместо AND и $1-x_i$ вместо $\bar{x}_i$ . Например, схемы $\#AC^0$ являются $\{+,\times\}$ -схемами постоянной глубины с неограниченными вентилями fanin $+$ и $\times$ и входами $x_i$ и $1-x_i$ . Агравал, Аллендер и Датта показали, что порог $\#AC^0$ = $TC^0$ . (Напомним, что $AC^0$ сам по себе является правильнымподмножество $TC^0$ ; возьмем, скажем, функцию Majority.) Другими словами, пороговые схемы постоянной глубины могут быть эффективно смоделированы цепями $\{+,-,\times\}$ глубины только с одним пороговым затвором! Обратите внимание, однако, что мой вопрос о монотонных схемах (без минуса " $-$ " в качестве затворов и даже без $1-x_i$ качестве входов). Может ли один (последний) порог ворот быть таким мощным и тогда? Я не знаю этого материала, поэтому любые связанные указатели приветствуются.

NB. Есть еще один интересный результат, связанный с Арнольдом Розенблумом: $\{+,\times\}$ -цепи с одной монотонной функцией $g:\mathbb{N}^2\to\{0,1\}$ качестве выходных элементов вычислить каждую функцию среза с $O(n)$ вентилями. Функция слайса - это монотонная логическая функция, которая для некоторого фиксированного $k$ выводит $0$ (соответственно $1$ ) на всех входах с меньшим (соответственно, больше), чем $k$ . С другой стороны, простой подсчет показывает, что большинству функций слайса требуются общие $\{\lor,\land,\neg\}$ -схемы экспоненциального размера. Таким образом, один «невинный» дополнительный выходной шлюз можетсделать монотонные схемы всемогущими! Мой вопрос спрашивает, может ли это также произойти, когда $g:\mathbb{N}\to\{0,1\}$ является пороговым вентилем fanin- $1$ .

Обычно в приложениях работают только большие пороги: нам обычно нужны пороги вида для . Скажем, если считает количество - путей в графе, заданное входом - , то для с , то беспороговый версия решает существование гамильтоновой - проблемы пути на графиков -vertex (см, например , здесь ). 2 n ϵ ϵ > 0 F : { 0 , 1 } n → $2^{n^{\epsilon}}$$\epsilon > 0$$F:\{0,1\}^n\to \mathbb{N}$ с т 0 1 т = м м 2 м ≈ п 1 / 3 т $s$$t$$0$$1$$t=m^{m^2}$$m\approx n^{1/3}$$t$$F$ $s$$t$$m$

(Добавлено 14.11.2014): Поскольку Эмиль ответил на большую часть моего вопроса, и поскольку случай экспоненциальных порогов не видно, я теперь принимаю этот (очень хороший) ответ Эмиля.

Ответ «да», если $t=n^{O(1)}$ . В более общем смысле, пороговую { + , ⋅ } -цепь размера s с порогом t можно смоделировать с помощью { ∨ , ∧ } -цепи размера O ( t 2 s ) .$\{+,\cdot\}$$s$$t$$\{\lor,\land\}$$O(t^2s)$

Во-первых, обратите внимание, что достаточно оценить схему в { 0 , … , t } с усеченным сложением и умножением: в частности, если a , a ′ ≥ t , то a + b , a ′ + b ≥ t , и либо a b , a ′ b ≥ t , или a b = a ′ b ( = 0 ) .$\{0,\dots,t\}$$a,a'\ge t$$a+b,a'+b\ge t$$ab,a'b\ge t$$ab=a'b(=0)$

Имея это в виду, мы можем смоделировать схему с булевой монотонной схемой, заменив каждый узел c узлами c 0 , … , c t , где c i предназначен для вычисления предиката c ≥ i . (Нам нужен c 0 только для удобства обозначения, он вычисляет функцию константы 1. ) Если c является булевой входной переменной x , мы берем c 1 = x , c 2 = ⋯ = c t = $c$$c_0,\dots,c_t$$c_i$$c\ge i$$c_0$$1$$c$$x$$c_1=x$$c_2=\dots=c_t=0$, Если c - строб сложения, скажем, c = a + b , мы реализуем его через c i = ⋁ j , k ≤ t j + k ≥ i ( a j ∧ b k ) . Затворы умножения обрабатываются одинаково.$c$$c=a+b$

Это берет O ( t 3 ) вентилей на один вентиль оригинальной схемы. В качестве незначительной оптимизации мы можем уменьшить ее до O ( t 2 ) , поставив c $O(t^3)$$O(t^2)$= ⋁ j + k ≥ t ( a j ∧ b k ) , c i= С я + 1 ∨ ⋁ J + K = я ( J ∧ Ь к ) ,я < т , так что каждыйJ∧бкиспользуетсякачестве входного сигнала только один изгряворот.