Социальный выбор, теорема стрелы и открытые проблемы?

В последние несколько месяцев я начал читать лекции о социальном выборе, теореме стрелы и связанных с ней результатах.

Прочитав об исходных результатах, я спросил себя о том, что происходит с предпочтениями частичного порядка, ответ в статье Pini et al. : Агрегирование частично упорядоченных предпочтений: невозможность и возможность результатов . Затем я подумал, можно ли найти характеристику допустимых функций социального выбора. И снова кто-то сделал это ( Полная характеристика функций, удовлетворяющих условиям теоремы Эрроу, Мосселя и Тамуза). Я не буду приводить полный список, но любые проблемы, связанные с социальным выбором, я могу придумать, где все решено за последние 5 лет :(

Итак, знаете ли вы, существует ли опрос о том, что было сделано недавно на местах, а что не было сделано?

Другой вопрос: знаете ли вы о сложностях и проблемах, связанных с социальным выбором (например, сложность поиска наибольшего подмножества пользователей, совместимых хотя бы с одной функцией социального выбора, или вопрос такого рода).

Ваш вопрос очень вовремя, потому что в последнем выпуске CACM есть статья, которая делает именно это: http://cacm.acm.org/magazines/2010/11/100640-using-complexity-to-protect-elections /полный текст

Короче говоря, Conitzer, Tovey и другие проделали большую работу над фактической жесткостью, как в наихудшем, так и в предположениях распределения, взлома механизмов голосования, которые в принципе можно сломать по теореме Эрроу.

Есть много проблем сложности, которые связаны со многими темами, которые возникают в так называемой теории социального выбора. Они включают в себя сложность определения того, кто является победителем, когда конкретный метод используется для объединения бюллетеней определенного типа в выбор для общества. Есть также проблемы сложности, связанные с попыткой найти способ голосовать стратегически (вместо использования своих истинных предпочтений), когда может быть доступна информация о предпочтениях другого избирателя, когда конкретный метод используется в надежде получить лучший результат для конкретного человека. или группа людей. Сложность также возникает при разработке «безопасных» систем онлайн-голосования.

Это огромная литература по социальному выбору, но для тех, кто заинтересован, можно начать с хороших книг:

Дональд Саари, Решения и выборы, Кембридж У. Пресс, 2001.

Дональд Саари, Уничтожение диктаторов, демистификация парадоксов голосования, Cambridge U. Press, 2008.

Алан Тейлор, «Социальный выбор и математика манипулирования», Cambridge U. Press, 2005.

В последнее время было много разработок в вычислительных аспектах социального выбора. Следующий сайт дает много ссылок на соответствующую литературу:

http://www.illc.uva.nl/COMSOC/

Теорема Эрроу является классической теоремой. Нахождение открытой проблемы нелегко и для теоретиков социального выбора (или, по крайней мере, для меня).

Мой общий совет для студентов, изучающих экономику: «держитесь подальше от теоремы, если только вы не можете связать свой вклад с некоторыми недавними идеями (например, аксиомами, которые были предложены недавно, решениями, которые были немного изучены, и поведенческими предположениями в моде) Попытайтесь найти проблему, не связанную с теоремой Эрроу. Таких проблем много, даже в теории социального выбора ". Только после того, как у вас появится общее представление о том, какую проблему вы хотите решить, ознакомьтесь со Справочником социального выбора и социального обеспечения .

Вычислительные проблемы могут быть одной из таких «недавних» идей. Хотя исследование сложности (правил или манипуляций, или решения и т. Д.) Является основной задачей для компьютерных ученых (как это было предложено другими), существуют документы выхода (такие как Mihara, 1997, Теорема Эрроу и вычислимость Тьюринга). , Экономическая теория 10: 257-276), которая изучает (фундаментальную?) Проблему вычислимости в рамках Эрроу. ;-)

Позвольте мне прокомментировать две предложенные вами проблемы.

1. Я не уверен, что теоретики социального выбора пренебрегали частичными заказами. Если они это сделали, то сделали это, вероятно, потому, что «пристрастность» может быть выражена строгими предпочтениями (как мы это делаем в Кумабе и Михаре, «Теория агрегации предпочтений без ацикличности: ядро ​​без недовольства большинства», « Игры и экономическое поведение» в прессе). (В этом случае лучше забыть о слабом предпочтении R или определить его по-другому [чтобы оно не стало полным): определяя xRy [x слабо предпочтительнее y], если не yPx [не y предпочтительнее x], мы имеем P асимметричен, если R завершен !)

2. Некоторые авторы нет, но я полагаю, что большинство теоретиков социального выбора достаточно осторожны, чтобы не утверждать, что любая диктаторская функция социального обеспечения удовлетворяет МИС. Например, я говорю (Михара, 1997), что в рамках функций социального обеспечения, удовлетворяющих МИС , правило является диктаторским, если оно удовлетворяет определенному условию. Таким образом, они знали, что проблема открыта, но, вероятно, не были заинтересованы в дальнейшей классификации диктаторских функций. (Возможно, Моссель и Тамуз могут прокомментировать опечатки Армстронга, на которые ссылается Михара. Он идентифицирует последовательность диктаторов или ультрафильтров.) Это предлагает другую стратегию исследования (которую я не могу рекомендовать): попытаться найти проблему, которая была бы неинтересна теоретикам социального выбора.