Имеет ли

Что произойдет, если мы определим ${\bf PPAD}$ таким образом, чтобы вместо схемы времени Тьюринга / машины полисайта схема Тьюринга пространства журналов или схема ${\bf AC^0}$ кодировали проблему?

В последнее время оказалось важным дать более быстрые алгоритмы для обеспечения удовлетворительности схемы для малых цепей , поэтому мне интересно, что происходит с версиями P P A D с ограниченным доступом .${\bf PPAD}$

$\def\ac{\mathrm{AC}^0}$ Да, . (Здесь и далее я предполагаю, что определен как унифицированный класс. Конечно, с неоднородным мы бы просто получили .)A C 0 P A D = P P A D A C 0 A C 0 P P A D / p o l $\ac\mathrm{PAD}=\mathrm{PPAD}$$\ac$$\ac$$\mathrm{PPAD/poly}$

Основная идея довольно проста: может выполнить один шаг вычисления машины Тьюринга, поэтому мы можем смоделировать одно вычислимое ребро за полиномиальное время с помощью полиномиально длинной линии -вычислимых ребер. Дальнейшим расширением идеи можно было бы смоделировать ребра, вычисляемые за многократное время, с оракулом PPAD, то есть PPAD закрыт при сводимости по Тьюрингу; этот аргумент приводится у Бусса и Джонсона .A C 0 A C$\ac$$\ac$

Есть много эквивалентных определений PPAD в литературе, которые отличаются по разным деталям, поэтому позвольте мне привести здесь одно для определенности. Задача поиска NP находится в PPAD, если есть полином и функции полиномиального времени , и со следующими свойствами. Для каждого входа длины , и представляют ориентированный граф без самоконтролей, где , и каждый узел имеет степень и степень не более . Представление таково, что еслиS p ( n $S$$p(n)$f ( x , u ) g ( x , u ) h ( x , u ) x n f g G x = ( V x , E x ) V x = { 0 , 1 } p ( n ) 1 ( u , v ) ∈ E x f ( x , u ) = $f(x,u)$$g(x,u)$$h(x,u)$$x$$n$$f$$g$$G_x=(V_x,E_x)$$V_x=\{0,1\}^{p(n)}$$1$$(u,v)\in E_x$тогда и ; если имеет внешнюю степень , ; и если имеет степень , .$f(x,u)=v$g ( x , v ) = u u 0 f ( x , u ) = u u 0 g ( x , u ) = $g(x,v)=u$$u$$0$$f(x,u)=u$$u$$0$$g(x,u)=u$

Узел является источником (т. Имеет степень и степень ). Если - это любой источник или приемник (в степени , вне степени ), отличный от , то является решением .0 p ( n ) ∈ V x 0 1 u ∈ V x 1 0 0 p ( n ) h ( x , u ) S ( x $0^{p(n)}\in V_x$$0$$1$$u\in V_x$$1$$0$$0^{p(n)}$$h(x,u)$$S(x)$

Мы можем определить аналогичным образом, за исключением того, что нам требуется чтобы находились в .A C 0 P A D f,g,h F A C$\ac\mathrm{PAD}$$f,g,h$$\mathrm{FAC}^0$

Я буду игнорировать в конструкции для простоты. (Нетрудно показать, что можно считать это проекцией, следовательно, -вычислимой.)h A C$h$$\ac$

Итак, рассмотрим задачу PPAD, определенную и , и исправим машины Тьюринга, вычисляющие и за время . Для любого мы определим ориентированный граф , вершинами которого являются последовательности следующего вида:S f g f g q ( n ) x G ′ x = ( V ′ x , E ′ x$S$$f$$g$$f$$g$$q(n)$$x$$G'_x=(V'_x,E'_x)$

• ( 0 , u , c 1 , … , c k ) u ∈ V x 0 ≤ k ≤ q ( n ) c 1 , … , c k k f ( x , u $(0,u,c_1,\dots,c_k)$ , где , , и - первые конфигураций в вычислении .$u\in V_x$$0\le k\le q(n)$$c_1,\dots,c_k$$k$$f(x,u)$

• ( 0 , u , c 1 , … , c q ( n ) , v , d 1 , … , d k ) u , v ∈ V x 0 ≤ k ≤ q ( n ) f ( x , u ) = v c 1 , … , C q ( n ) f ( $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_k)$ , где , , , - полное вычисление , а - первые шагов в вычислении .$u,v\in V_x$$0\le k\le q(n)$$f(x,u)=v$$c_1,\dots,c_{q(n)}$, u ) d 1 , … , d k k g ( x , v $f(x,u)$$d_1,\dots,d_k$$k$$g(x,v)$

• ( 1 , v , d 1 , … , d k ) 0 p ( n ) ≠ v ∈ V x 0 ≤ k ≤ q ( n ) d 1 , … , d k k g ( x , v $(1,v,d_1,\dots,d_k)$ , где , , и - первые конфигураций в вычислении .$0^{p(n)}\ne v\in V_x$$0\le k\le q(n)$$d_1,\dots,d_k$$k$$g(x,v)$

• ( 1 , v , d 1 , ... , д д ( п ) , у , с 1 , ... , C к ) у , v ∈ V х V ≠ 0 р ( п ) 0 ≤ K ≤ д ( п ) г ( х , v ) = u d 1 , … , $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_k)$ , где , , , , - это вычисление , а - первые шагов в вычислении .$u,v\in V_x$$v\ne0^{p(n)}$$0\le k\le q(n)$$g(x,v)=u$q ( n ) g(x,v) c 1 ,…, c k kf(x,u$d_1,\dots,d_{q(n)}$$g(x,v)$$c_1,\dots,c_k$$k$$f(x,u)$

E ′ x V ′ x × V ′ $E'_x$ состоит из ребер в следующих видов:$V'_x\times V'_x$

• $(0,u,c_1,\dots,c_k)\to(0,u,c_1,\dots,c_{k+1})$

• $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)})\to(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v)$

• $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_k)\to(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_{k+1})$

• ( 0 , u , c 1 , … , c q ( n ) , v , d 1 , … , d q ( n ) ) → ( 1 , v , d 1 , … , d q ( n ) , u , c 1 , … , C q ( n ) ) f $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_{q(n)})\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_{q(n)})$ , если и (то есть, либо , или является изолированная вершина)u ) = v g ( v ) = u ( u , v ) ∈ E x u = $f(u)=v$$g(v)=u$$(u,v)\in E_x$$u=v$

• $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_{k+1})\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_k)$

• $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u)\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)})$

• $(1,v,d_1,\dots,d_{k+1})\to(1,v,d_1,\dots,d_k)$

• $(1,u)\to(0,u)$

Формально, пусть - многочлен, ограничивающий длины двоичных представлений всех последовательностей выше (таких, что мы можем расширять или сокращать последовательности и извлекать их элементы с помощью -функций); мы фактически ставим и оставляем все вершины, кроме вышеупомянутых последовательностей, изолированными.r ( n ) A C 0 V ′ x = { 0 , 1 } r ( n $r(n)$$\ac$$V'_x=\{0,1\}^{r(n)}$

Легко видеть, что функции , представляющие являются -вычислимыми: в частности, мы можем проверить в ли допустимым частичным вычислением , мы можем вычислить из и извлечь значение из .f ′ g ′ G ′ x A C 0 A C 0 c 1 , … , c k f ( x , u ) c k + 1 c k f ( x , u ) c q ( n $f'$$g'$$G'_x$$\ac$$\ac$$c_1,\dots,c_k$$f(x,u)$$c_{k+1}$$c_k$$f(x,u)$$c_{q(n)}$

в являются узлами вида где является приемником в . Аналогично, источники - это где - источник в , за исключением того, что в специальном В случае мы рано обрезали строку, и соответствующий источник в равен просто . Можно предположить, что кодирование последовательностей выполнено таким образом, что .G ′ x ( 0 , u , c 1 , … , c q ( n ) , u , d 1 , … , d q ( n ) ) u G x ( 1 , v , d 1 , … , d q ( n ) , v , c 1 , … , c q $G'_x$$(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},u,d_1,\dots,d_{q(n)})$$u$$G_x$$(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},v,c_1,\dots,c_{q(n)})$$v$$G_x$$v=0^{p(n)}$$G'_x$$(0,0^{p(n)})$$(0,0^{p(n)})=0^{r(n)}$

Таким образом, и определяют задачу , и мы можем извлечь решение из решения с помощью -функции которая выводит второй компонент последовательности.$f'$$g'$$\ac\mathrm{PAD}$$S'$$S(x)$$S'(x)$$\ac$$h'$