Каков минимальный размер схемы, которая вычисляет PARITY?

Классический результат состоит в том, что каждая схема 2 вентилятора И-ИЛИ-НЕ, которая вычисляет PARITY из входных переменных, имеет размер не менее и это является резким. (Мы определяем размер как число логических элементов И и ИЛИ.) Доказательством является устранение гейта, и, похоже, оно потерпит неудачу, если мы допустим произвольный фан-ин. Чем известен этот случай?$3(n-1)$

В частности, кто-нибудь знает пример, когда помогает больший фан-ин, т.е. нам нужно менее вентилей?$3(n-1)$

Обновление 18 октября. Марцио показал, что для даже ворот, используя форму PARF в формате CNF. Это подразумевает оценку для общего . ВЫ можете сделать лучше?5 ⌊ $n=3$$5$$\lfloor \frac 52 n \rfloor-2$$n$

Можно рассчитать паритет, используя только ворота 2.33n + C. Конструкция довольно проста и приведена в этой статье.

http://link.springer.com/article/10.3103/S0027132215050083

Вот пример схемы для контроля четности 6 переменных, использующей только 12 вентилей (каждый вентиль является вентилем AND, кружок возле входа вентиля означает, что этот вход инвертирован). Обратите внимание, что схема для контроля четности из 6 переменных, которая построена путем суммирования блоков DNF (как в верхней границе Марцио), состоит из 13 элементов.

Я проверил, что для n = 2,3,4,5,6 размеры оптимальных схем составляют 3,5,8,10,12. Эти значения также являются размерами цепей, которые дают 2.33n верхней границы. Я до сих пор не знаю, является ли 2,33n размер оптимальной схемы для каждого n. Более того, я не знаю размера оптимальной схемы для четности 7 переменных (есть два возможных значения, 14 и 15).

Эта нижняя граница исключения из ворот не соответствует верхней границе Марцио, но это начало.

Предложение: Каждая неограниченная вычисляемая четность схемы И / ИЛИ / НЕ, вычисляющая четность по переменным, содержит как минимум 2 n - 1 логических элемента И и ИЛИ.$n\ge2$$2n-1$

Для удобства я буду использовать модель, в которой единственными воротами являются И-ворота, но мы допускаем провода отрицания. Легко видеть, что для n = 2 необходимы элемента , поэтому достаточно показать, что если C - схема минимального размера, вычисляющая четность по n > 2 переменным, мы можем найти ограничение одной переменной, которое убивает по крайней мере двое ворот.$3$$n=2$$C$$n>2$

$x_i$$0$

$a$$a=x_1\land x_2\land\cdots$$x_1=0$$a=0$$C'$$x_2$$x_2$$b=\neg x_2\land c_1\land\dots\land c_r$$C'$$c_j$$x_2$$x_3,\dots,x_n$$x_1=0$$c_j$$x_2$$\neg x_2$$C'$$c_j$$1$$b$$\neg x_2$$a$

$2n-1$$\lfloor\frac52n\rfloor-2$

[1] Инго Вегенер, Сложность функции четности в неограниченных разветвлениях, неограниченных схемах глубины , Теоретическая информатика 85 (1991), №. 1, с. 155–170. http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(91)90052-4

Я расширяю свой комментарий:

$k$$k-1$$I_i \geq 2$$g_i$

$3(n-1)$$(x_1,x_2,x_3)$

$5n/2$

Если есть литерал с 3 родителями, мы можем исключить все 3 с одной переменной.

Если два литерала встречаются вместе в двух разных гейтах, то вместе мы можем применить основной аргумент из ответа Эмиля, снова удалив три вентиля с одной переменной.