Для случайного оракула R равен ли BPP множеству вычислимых языков в P ^ R?

Ну, название в значительной степени говорит обо всем. Интересный вопрос выше задал комментатор Джей в моем блоге (см. Здесь и здесь ). Я предполагаю, что ответ - да, и что есть относительно простое доказательство, но я не мог видеть это наизусть. (Однако очень грубо можно попытаться показать, что если бы язык в отсутствовал в , то он должен иметь бесконечную алгоритмическую взаимную информацию с , и в этом случае он не был бы вычислим. Также обратите внимание, что одно направление тривиально: вычислимые языки в безусловно, содержат .)$P^R$$BPP$$R$$P^R$ $BPP$

Обратите внимание, что я не спрашиваю о классе NearP , который состоит из тех языков, которые есть в почти для каждого (и, как известно, он равен ). В этом вопросе мы сначала исправить , а затем посмотреть на множестве вычислимых языков в . С другой стороны, можно было бы попытаться показать , что, если язык в вычислим, даже для фиксированного случайного оракула , то в том , что язык должен быть в .$P^R$$R$$BPP$$R$$P^R$$P^R$$R$$AlmostP$

С этим тесно связан вопрос: имеем ли мы с вероятностью 1 над случайным оракулом$R$

$AM = NP^R \cap Computable.$

Если это так, то мы получаем следующее интересное следствие: если , то с вероятностью 1 над случайным оракулом единственные языки, которые являются свидетелями разделения оракула являются невычислимыми языками.$P=NP$$R$$P^R \ne NP^R$

Да.

Во-первых, поскольку мне потребовалась минута, чтобы понять это самостоятельно, позвольте мне формализовать разницу между вашим вопросом и ; это порядок квантификаторов. A l m o s t P : = { L : P r R ( L ∈ P R ) = 1 } , и результат, на который вы ссылаетесь, равен ∀ $\mathsf{AlmostP}$$\mathsf{AlmostP} := \{L : Pr_R(L \in \mathsf{P}^R) = 1\}$ . Если я правильно понял, вы спрашиваете, если P r R ( ∀ $\forall L\, L \in \mathsf{BPP} \iff Pr_R(L \in \mathsf{P}^R) = 1$ .$Pr_R(\forall L\, L \in \mathsf{P}^R \cap \mathsf{COMP} \iff L \in \mathsf{BPP}) = Pr_R(\mathsf{P}^R \cap \mathsf{COMP} = \mathsf{BPP}) = 1$

Рассмотреть возможность

.$p := 1-Pr_R(\mathsf{P}^R\cap \mathsf{COMP} = \mathsf{BPP}) = Pr_R(\exists L \in \mathsf{P}^R \cap \mathsf{COMP} \backslash \mathsf{BPP})$

По границе объединения ограничено сверху ∑ L ∈ C O M P P r R ( L ∈ P R ∖ B P P ) . (Обратите внимание, что последняя сумма является счетной.) Теперь по закону 0-1, который применяется, поскольку все соответствующие утверждения не меняются, если мы меняем R конечным образом, - каждая отдельная вероятность в этой сумме равна либо 0, либо 1. Если ответ на ваш вопрос - нет, тогда p = 1 , поэтому должно быть некоторое L ∈ C O M P такое, что$p$$\sum_{L \in \mathsf{COMP}} Pr_R(L \in \mathsf{P}^R \backslash \mathsf{BPP})$$R$$p=1$$L \in \mathsf{COMP}$ . Но это противоречит томучто л м о с т Р = В Р Р .$Pr_R(L \in \mathsf{P}^R \backslash \mathsf{BPP}) = 1$$\mathsf{AlmostP} = \mathsf{BPP}$

Обновление 10 октября 2014 : Как было отмечено в комментарии Эмиль Jeřábek, тот же аргумент относится к против N P R , так как мы знаем , что л м о с т N P = M .$\mathsf{AM}$$\mathsf{NP}^R$$\mathsf{AlmostNP} = \mathsf{AM}$

Он также указывает, что мы ничего не использовали в кроме того, что это счетный класс, содержащий B P P (соответственно, A M ). Таким образом, «интересный вывод» в OQ фактически применим к любому счетному классу языков C, который содержит A M : если P = N P , «единственные» языки, которые являются свидетелями разделения оракула P R ≠ N P R, находятся за пределами $\mathsf{COMP}$$\mathsf{BPP}$$\mathsf{AM}$$\mathcal{C}$$\mathsf{AM}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P}^R \neq \mathsf{NP}^R$$\mathcal{C}$, Но последнее утверждение кажется мне несколько вводящим в заблуждение (оно звучит так, как будто для любого мы могли бы рассмотреть C = A M ∪ { L 0 } и тем самым «показать», что ни один L 0 не реализует N P R ≠ P R , противоречащему известной теореме). Скорее, написав это символически, мы показали:$L_0$$\mathcal{C} = \mathsf{AM} \cup \{L_0\}$ $L_0$$\mathsf{NP}^R \neq \mathsf{P}^R$

Если , то table счетное  C ⊇ A $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$ .$\forall \text{countable } \mathcal{C} \supseteq \mathsf{AM}\, Pr_R(\mathsf{NP}^R \neq \mathsf{P}^R \text{ and } \mathsf{NP}^R \cap \mathcal{C} = \mathsf{P}^R \cap \mathcal{C}) = 1$

Следует отметить, что особенно важно, вероятность 1 это не то же самое, что все , и который полный набор мера R удовлетворяет аргумент P г R может зависеть от C . Так что, если мы попытаемся изменить C на C ∪ { L 0 } , он в лучшем случае удалит множество R меры R, которые удовлетворяют этому утверждению.$R$$R$$Pr_R$$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$$\mathcal{C} \cup \{L_0\}$$R$

В то время как порядок квантификаторов между тем, что вы спрашиваете, и почти P различаются, нетрудно показать, что они эквивалентны. Во-первых, для любого фиксированного L вопрос о том, не зависит ли L \ in P ^ O от какого-либо конечного начального отрезка O., следует, что вероятность того, что L \ in P ^ R, равна 0 или 1. Из почти - В результате P, для каждого вычислимого L, не входящего в BPP, ответ равен 0, а если L \ в BPP, вероятность равна 1. Поскольку счетного L вычислимо много, мы можем сделать объединение; счетное объединение наборов вероятностей 0 имеет вероятность 0. Таким образом, вероятность того, что существует любой вычислимый L, который не находится в BPP, но находится в P ^ R, равна 0, так же как и вероятность того, что в BPP есть язык, не принадлежащий P ^ Р,