Чисто теоретико-графическое объяснение редукции от уникального покрытия этикетки до Max-Cut

Я изучаю гипотезу об уникальных играх и известное сведение к Max-Cut из Khot et al. Из их статьи и из других источников в Интернете большинство авторов используют (что для меня является) неявную эквивалентность между сокращением MAX-CUT и созданием конкретных тестов для длинных кодов. Из-за моей собственной неясности относительно этой эквивалентности я изо всех сил стараюсь следовать этому ходу мыслей.

Из этих изложений также ясно, что можно описать сокращение исключительно в виде графиков, но по стечению обстоятельств или предпочтениям никто не решит сделать это таким образом. Например, в этих лекционных заметках О'Доннелла он намекает на то, что тест длинного кода соответствует естественному определению ребер в строящемся графе, но поскольку не указано, что правило, по-видимому, зависит от выбора разреза определить тестируемую булеву функцию, и это меня несколько смутило.

Поэтому я прошу кого-то объяснить теоретическое сокращение «просто». Я думаю, что это поможет мне понять эквивалентность между двумя точками зрения.

Позвольте мне посмотреть, смогу ли я уточнить это на высоком уровне. Предположим, что экземпляр UG является двудольным графом$G = (V \cup W, E)$Биографии $\{\pi_e\}_{e \in E}$, где $\pi_e\colon \Sigma \to \Sigma$, а также $|\Sigma| = m$, Вы хотите построить новый график$H$ так что если экземпляр UG $1-\delta$ удовлетворительно, то $H$ имеет большой разрез, и если экземпляр UG даже не $\delta$неудовлетворительно, то $H$ имеет только очень маленькие порезы.

График $H$ содержит, для каждой вершины в $W$облако $2^m$ точки, каждая помечена некоторыми $x \in \{-1, 1\}^\Sigma$, Предполагается, что вы сможете интерпретировать длинную кодовую метку меток$W$ в разрезе $H$, Напомним, что для кодирования некоторых$\sigma \in \Sigma$ с длинным кодом вы используете булеву функцию $f\colon \{-1, 1\}^\Sigma \to \{-1, 1\}$; в частности это функция диктатора$f(x) = x_\sigma$, Давайте сделаем разрез$S\cup T$(т. е. двунаправленное разбиение вершин) из кодирования длинного кода следующим образом. Если$w \in W$ имеет метку, закодированную булевой функцией $f$иди к облаку вершин в $H$ соответствует $w$и положить в $S$ все вершины в облаке, которые помечены некоторыми $x$ для которого $f(x) = 1$, Все остальные идут в$T$, Вы можете сделать это задом наперед, чтобы назначить булевы функции всем$w \in W$ основанный на разрезе $H$,

Для того чтобы сокращение работало, вы должны быть в состоянии сказать только, глядя на значение сокращения$S\cup T$ близки ли логические функции, соответствующие вырезанию, к кодированию длинного кода некоторого назначения меток $W$ что удовлетворяет многим ограничениям UG $G$, Таким образом, вопрос в том, какую информацию мы получаем от стоимости разреза$S \cup T$, Рассмотрим любые две вершины$a$ с этикеткой $x$ в облаке, соответствующем $w$ а также $b$ с этикеткой $y$ в облаке, соответствующем $w'$ (в сокращении мы только смотрим на $w$, $w'$в разных облаках). Мы сказали, что разрез может быть использован для получения булевых функций$f_w$ а также $f_{w'}$, Теперь, если есть преимущество$(a,b)$ в $H$, тогда $(a, b)$ режется тогда и только тогда, когда $f_w(x) \neq f_{w'}(y)$, Следовательно, использование только значения среза для определения того, являются ли булевы функции, которые он вызывает, «хорошими», равнозначно тому, чтобы иметь тест с заданными булевыми функциями.$\{f_w\}_{w \in W}$, только спрашивает, какая часть некоторого указанного списка пар $((w, x), (w', y))$ у нас есть $f_w(x) \neq f_{w'}(y)$,

Другими словами, всякий раз, когда Райан говорит в примечаниях "проверить, если $f_w(x) \neq f_{w'}(y)$"что он на самом деле означает" в $H$, добавить ребро между вершиной в облаке $w$ помечены $x$ и вершина в облаке $w'$ помечены $y$Т.е. для каждого $v\in V$каждые два его соседа $w, w'$и каждый $x,y \in \{-1, 1\}^n$, включить ребро между вершиной в облаке $w$ помечены $x\circ \pi_{v,w}$ и вершина в облаке $w'$ помечены $y \circ \pi_{v,w'}$и назначьте вес ребра $(({1-\rho})/{2})^d(({1+\rho})/{2})^{n-d}$ где $d$ это расстояние Хэмминга между $x$ а также $y$, Таким образом, значение среза, деленное на общий вес ребра, точно равно вероятности успеха теста.