Секретарь найма игры

Это расширение классической проблемы секретаря .

В игре найма у вас есть набор кандидатов $\mathcal C=\{c_1,\ldots,c_N\}$и приказ о том, насколько квалифицирован каждый работник.

Wlog, мы предполагаем, что $c_1$ самый опытный, а затем $c_2$, так далее.

Порядок проведения собеседования с кандидатами выбирается случайным образом, и он (очевидно) неизвестен работодателям.

Теперь предположим, что у вас есть рынок с 2 потенциальными работодателями. В каждом раунде новый кандидат проводит собеседование для обеих компаний (позвоните им$A,B$). Во время интервью оба$A$ а также $B$соблюдать частичное упорядочение всех прошлых кандидатов, в том числе текущего собеседника. Затем фирмы (независимо) решают, нанять ли сегодняшнего заявителя.

К сожалению для $B$, он не может конкурировать в финансовом отношении с $A$предложение, так что если оба расширяют предложение для работника, $A$ получает предпочтение.

Кроме того, после подписания секретарем компания не может проводить собеседование с другими кандидатами, и конкурент узнает о подписании .

Цель каждой компании состоит в том, чтобы нанять более квалифицированного кандидата (в отличие от классической проблемы, когда отдельная компания желает найти лучшего секретаря), поскольку известно, что компания с лучшим секретарем должна иметь возможность взять на себя рынок.

Какова оптимальная стратегия в качестве большой фирмы ($A$)?

Как насчет небольшой компании ($B$)?

Если обе компании разрабатывают свои стратегии равновесия, какова вероятность $B$ gets the better worker?

---

В связанной работе Kalai et al. обсуждается симметричная версия этой проблемы, где обе компании имеют одинаковую силу привлечения кандидатов.

В этом случае простое (симметричное) равновесие заключается в том, что вы нанимаете секретаря, если вероятность того, что она окажется лучше остальных кандидатов, составляет не менее 50%.

Как этот результат изменяется в наших настройках?

Для компании $A$/ фирма / гигантская корпорация / "большая фарма" / "человек", стратегия не отличается от симметричной версии:

Рассмотрим раунд, где вероятность того, что после этого будут видны только меньшие кандидаты, $> .5$, Если компания$A$ держит кандидата, значит у него есть шанс на победу $> .5$, Если$A$ не держит кандидата, тогда компания $B$ может нанять кандидата и компанию $A$ has a chance of winning $< .5$, Итак, очевидно, компания$A$ нанял (и компания $B$ попытался бы нанять) в этой ситуации.

Для кандидата с вероятностью выигрыша ровно $.5$, $A$ может или не может хотеть нанимать, но $B$ хотел бы нанять, потому что $B$ не может получить шансы лучше, чем $.5$,

Если компания $A$ нанят, прежде чем он увидел кандидата с шансом на победу $>= .5$, тогда шансы лучшего будущего кандидата существуют (и, следовательно, $B$ победа) будет $> .5$, Так$A$ не будет нанимать, пока не увидит кандидата на выигрыш $>= .5$,

Следовательно, $A$Стратегия идентична симметричному случаю: нанять первого кандидата, который дает шансы на выигрыш $> .5$,

$B$Стратегия формируется с $A$Стратегия в виду. Очевидно, если$A$ нанимает (в или) до $B$, тогда $B$Стратегия заключается в том, чтобы нанять следующего кандидата, который лучше, чем $A$, если есть. Кроме того, если кандидат приходит с коэффициентом выигрыша$> .5$, $B$ следует попытаться нанять, хотя $A$ также постараюсь нанять (и заставить $B$ продолжать искать).

Остается только один вопрос: полезно ли это для $B$ нанять, когда шансы на победу $<= .5$, Ответ: да.

Интуитивно, скажем, есть раунд, где шансы на победу с кандидатом $.5 - \epsilon$, Кроме того, «вероятно» будет (объяснено позже) будущий кандидат с вероятностью выигрыша$> .5 + \epsilon$, Тогда было бы полезно$B$ выбрать более раннего кандидата.

Позволять $d_r$ быть кандидатом на собеседование в туре $r$ для всех $1 <= r <= N$,

Официально, $B$Стратегия такова: "нанять $d_r$ если это дает лучшие шансы на выигрыш, чем если бы не ". Ниже показано, как мы рассчитываем такое решение.

Позволять $p_{r,i}$ вероятность выигрыша после собеседования и найма $d_r$ данный $d_r$ это $i$Лучший кандидат на собеседование. Затем:

$p_{r,i} =$ вероятность того, что $d_s < d_r$ за $s > r$

$= (1-\frac{i}{r+1})(1-\frac{i}{r+2})\times ... \times (1-\frac{i}{N})$

...

$= \frac{(N-i)!r!}{(r-i)!N!}$

Следует отметить, что $p_{r,i}$ легко вычисляется с постоянной точностью.

Позволять $P_{B,r}$ быть вероятностью того, что $B$ выигрывает, учитывая, что ни одна компания не нанята в раундах $1$ через $r-1$,

затем $B$ наймет $d_r$ если вероятность выигрыша после найма $d_r$ лучше, чем $P_{B,r+1}$.

Note that $P_{B,N} = 0$, because if it is the last round, then $A$ is guaranteed to hire and $B$ will not hire anyone and loose.

Then, in round $N-1$, $B$ is guaranteed to try to hire and will succeed unless $A$ hires as well. So:

$$P_{B,N-1} = \sum_{i=1}^{N-1}\frac{1}{N-1} \left\{ \begin{array}{lcl} p_{N-1,i} & : & p_{N-1,i} < .5 \\ 1-p_{N-1,i} & : & p_{N-1,i} >= .5 \end{array} \right.$$

Which leads to the recursive function:

$$P_{B,r} = \sum_{i=1}^{r}\frac{1}{r} \left\{ \begin{array}{lcl} 1-p_{r,i} & : & p_{r,i} >= .5 \\ p_{r,i} & : & P_{B,r+1} < p_{r,i} < .5 \\ P_{B,r+1} & : & \text{else} \end{array} \right.$$

It's pretty obvious that $P_{B,r}$ can be calculated to constant accuracy in polynomial time. The final question is: "what is the probability of $B$ winning?" The answer is $P_{B,1}$ and varies with $N$.

As to the question of how often does $B$ win? I have not calculated exactly, but looking at $N$ from 1 to 100, it appears that as $N$ grows, that $B$'s winning rate approaches .4 or so. This result may be off as I just did a quick python script to check and did not pay close attention to rounding errors with floating numbers. It may very well end up that the real hard limit is .5.