Перестановка токенов на графе с использованием локальных свопов

Пусть нерегулярный связный граф, степень которого ограничена. Предположим, что каждый узел содержит уникальный токен. $G= (V, E)$

Я хочу равномерно перетасовать токены среди графа, используя только локальные перестановки (т.е. обмен токенами между двумя соседними узлами)? Известна ли нижняя граница для этой проблемы?

Единственная идея, которая у меня возникла, - это использовать результат случайного блуждания, а затем посмотреть, сколько свопов мне нужно, чтобы «смоделировать» эффект случайных блужданий, переносящих токены на график.

ds.algorithms random-walks dc.distributed-comp

— Сильвен Пейроннет
источник

Какую нижнюю границу вы ищете? Общее количество свопов? Количество параллельных раундов (т. Е. За 1 шаг вы можете поменять местами все совпадающие ребра в )? Оценка снизу как функция от, ? Все ли узлы знают топологию (и могут ли они соответствующим образом адаптировать свое поведение), или вы ищете фиксированную стратегию, которую можно применить на любом графике?

G

$G$

| V |

$|V|$

d i a m (G)

$diam(G)$

G

$G$

— Юкка Суомела

Я должен был быть более конкретным, извините. Цель состоит в том, чтобы разработать метод распространения данных для сенсорных сетей, который позволит избежать проблем, связанных с методами случайных блужданий (по существу, потеря информации из-за столкновения нескольких токенов в одном узле). Поэтому меня интересует общее количество перестановок (это даст количество сообщений, циркулирующих в сети) и количество раундов (чтобы получить приблизительную оценку времени конвергенции). LB как функция - это нормально, а узлы не знают топологию (к сожалению).

V

$V$

— Сильвен Пейроннет

Ответы:

Предположим, ваш график был путем. Я думаю, что тогда эта проблема становится эквивалентной сортировке случайной последовательности чисел в массиве путем замены соседних записей. Даже из всех узлов с учетом топологии вы получаете нижнюю границу ^ 2 для числа перестановок (не может быть лучше, чем сортировка пузырьком, которая равна n ^ 2 даже на случайном входе).

— Лев Рейзин
источник

В случае пути процесс обмена с вероятностью 1/2 смешивается в , это было доказано Бенджамини, Бергером и Хоффманом (это было предположено Диаконисом и Рамом). Так что мой LB также является функцией степени, которую я предполагаю ...

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Сильвен Пейроннет

Этот LB говорит, что вы не можете улучшить алгоритм, даже если вы можете выбрать свои свопы ... но верно, я думаю, что проблема может стать легче, когда (средняя?) Степень возрастает.

— Лев Рейзин

Я запланирую некоторые симуляции, чтобы увидеть, как все пойдет, когда степень растет.

— Сильвен Пейроннет

На самом деле, похоже, что этот LB (с некоторой модификацией) будет удерживаться, даже если два конца пути имеют большие клики - как в 2 кликах на n / 4, соединенных путем n / 2 узлов. Теперь средняя степень равна O (n), но вы все равно не можете победить n ^ 2. Возможно, нам нужно ввести минимальную степень?

— Лев Рейзин

Да, нам нужна минимальная степень :(

— Сильвен Пейроннет

Я хотел бы указать на связь между этой проблемой и сетью сортировки. Например, если ваш граф представляет собой путь, то тривиальная сеть сортировки по линейной глубине также показывает, что вы можете получить любую перестановку в линейном количестве раундов. Более того, это сложно, так как для простой замены элементов в конечных точках пути требуется линейное число раундов.

Сортировочные сети AKS показывают, что существуют графики, в которых вы можете получить любую перестановку в логарифмическом количестве раундов. Для случая графиков сетки, см., Например, эти примечания к лекции .

(Конечно, сортировка и перемешивание - разные проблемы, но многие верхние и нижние границы связаны. Например, выбирайте случайные метки и сортируйте по меткам.)

— Юкка Суомела
источник

Спасибо за указатель. Я буду копать в этом направлении, может быть, это не то, что мне нужно здесь (я не уверен, что у меня есть хороший тип графиков), но это, безусловно, будет то, что я буду использовать рано или поздно!

— Сильвен Пейроннет