Principia Mathematica была в значительной степени ответом на различные парадоксы, обнаруженные в математической логике на рубеже 20-го века. Однако само произведение, которое часто косвенно хвалят как «нечитаемый шедевр», несколько неуклюже, и были созданы более современные основы. Чтобы описать большую часть математики, у вас есть несколько вариантов: теория категорий одна, теория типов была популярна в некоторых проектах как расширение лямбда-исчисления, но наиболее понятным и наиболее фундаментальным, вероятно, является теория множеств.
Теория множеств имеет несколько различных формулировок; Теория множеств Цермело Франкеля с аксиомой выбора является наиболее ортодоксальной, с любовью называемой энтузиастами теории множеств. Теория множеств Тарского-Гротендика - это еще одна теория, которая во многом похожа на которая включает аксиому Тарского для рассуждения о больших категориях. Они интересны для проверки, но несколько сложнее для автоматического доказательства теорем, потому что схема замены аксиом допускает бесконечное число аксиом, которые представляют собой проблему для реализации. В то время как эти основы совершенно разумны для систем проверки доказательства, таких как Мизар для теории множеств Тарского-Гротендика и Метамат дляZFC ZFCZFCдля реальной системы доказательства теорем было бы неплохо иметь конечную аксиоматизацию.
Основой, которая, вероятно, является наиболее подходящей для этого, является теория множеств фон Неймана – Бернайса – Гёделя или , которая допускает конечную аксиоматизацию, будучи двухсортированной теорией, которая имеет онтологию как собственных классов, так и множеств. Кроме того, было доказано, что является консервативным расширением , так что любая теорема является теоремойN B G Z F C N B G Z F CNBGNBGZFCNBGZFC, Причина, по которой эта теория является наиболее подходящей для автоматизированного рассуждения, на мой взгляд, заключается в том, что ее можно выразить в логике первого порядка, которая допускает эффективное, надежное и полное доказательство исчисления, а конечная аксиоматизация означает, что ее можно использовать с разрешением первого порядка, которое дает нам опрятный результат: если утверждение разрешимо, в конечном итоге будет найдено доказательство.
Логика высказываний недостаточно выразительна, и логика более высокого порядка, хотя и гораздо более выразительна, не допускает эффективного, надежного и полного исчисления доказательств. Логика первого порядка с теорией множеств позволяет вам представлять и отображать логические теории более высокого порядка, поэтому для основ это самое приятное место ... за исключением возможности неразрешимых утверждений (спасибо Геделю.), Поэтому теории первого порядка с достаточным рангом квантора часто описываются как полуразрешимые.
Art Quaife проделал некоторую работу над этим в: Автоматизированной разработке фундаментальных математических теорий, где он реализовал в логике первого порядка в клаузальной форме, чтобы она могла использоваться проверяющим теорему на основе разрешения (Otter) и отличным справочником для решения Основой для такого рода работ является « Введение Эллиотта Мендельсона в математическую логику».NBG
Теперь современные помощники по доказательству часто меньше заботятся об основах парадигмы « Принципов математики» и более полезны для доказательства теорем для повседневной работы, поэтому они имеют некоторую поддержку для фрагментов логики более высокого порядка, решения SAT / SMT, теорий типов и других более неформальные и менее основательные подходы. Но если вы пытаетесь сделать что-то вроде Principia Mathematica, то доказатель теоремы первого порядка с конечно-аксиоматизируемой теорией множеств первого порядка идеален.
Для некоторых примеров того, как автоматизированные теоремы доказывают проблемы атак из этих оснований, на сайте «Тысячи проблем для теорем» ( TPTP ) есть множество проблем, и вы заметите, что многие фундаментальные проблемы теории чисел основаны на теория множеств. Если у вас есть время, посмотрите NUM006-1.p на их сайте: гипотеза Гольдбаха. Вы можете попробовать запустить его, и если его можно будет решить, в конечном итоге будет найдено доказательство .NBG
Теоремы в вашей книге почти наверняка будут теоремами если они написаны на языке теории множеств. Аксиомы генетики в этой книге почти наверняка будут представлены как определения на множестве теоретических предикатов, так же, как арифметика Пеано представлена в как определения предикатов. Оттуда вы следуете процедуре разрешения в любом СПС. Выберите утверждение, которое хотите доказать, опровергните его, преобразуйте в нормальную форму Сколема, затем в клаузальную форму и следуйте резолюции. Когда вы найдете пустое предложение, вы обнаружите противоречие, подтверждающее утверждение.N B GNBGNBG
Если вы хотите попытаться определить теорию с точки зрения теории множеств, вы должны найти определения реляционных предикатов, которые отделены от теории множеств, что позволит вам создавать предикаты с точки зрения теории множеств. Опять же, примером этого является то, как мы определяем арифметику Пеано в теории множеств, которая сама по себе не имеет определений чисел, сложения, умножения или даже равенства. В качестве примера теоретического определения отношения, подобного равенству, мы можем определить его с точки зрения членства как таковое:
∀ ∈ ↔ ∈ ↔∀ xy ( z (z x z y) x = y)∀∈↔∈↔
Немного предостережения: кривая обучения для этого действительно очень крутая. Если вы намерены продолжать это, вы, возможно, окажетесь в течение нескольких лет, прежде чем поймете всю проблему, как это было в моем опыте. Возможно, вы захотите изучить теорию с менее основополагающего подхода, прежде чем взять на себя огромную задачу встраивания ее в основополагающий язык для всего. В конце концов, вам не обязательно рассуждать о бесчисленном множестве смешивающихся генов.
