Является ли проблема 3-сфера распознавания NP-полной?

13

Известно, что определение того, является ли данное триангулированное 3-многообразие 3-сферой, входит в NP посредством работы Сола Шлеймера в 2004 году: «Распознавание сфер лежит в NP» arXiv: math / 0407047v1 [math.GT] . Я задаюсь вопросом, было ли это установлено, чтобы быть законченным NP за прошлые пять или шесть лет? Аналогичные задачи, такие как проблема рода 3-многообразных узлов, были показаны NP-полными.

— Джозеф О'Рурк
источник

3

Теперь известно, что проблема также в со-NP, см. Объявление в J. Hass, Новые результаты о сложности распознавания 3-сферы, Oberwolfach Rep. 9 (2012), no. 2, 1425 {1426.

— Арно

@ Арно: Есть какие-нибудь обновления по этому поводу? С тех пор я ничего не мог найти у Хасса по этой проблеме. Лучшее, что я смог найти, это результат coNP, обусловленный GRH, который я вставил в свой новый ответ, и который, кажется, не упоминает Хасса :(.

— Джошуа

@JoshuaGrochow Извините, мой комментарий был неточным, и это утверждение Джоэля Хасса (я также забыл сказать, что это было с Г. Купербергом) также предполагало GRH. Насколько я знаю, полная рецензия еще не появилась.

— Арно

15

Если он NP-полон, то разве вы не доказали бы, что ни один набор (равномерно) вычислимых инвариантов полиномиального времени 3-многообразий не отличает 3-сферы от других 3-многообразий. Я был бы очень удивлен, если бы это было известно.

— Питер Шор
источник

3

В частности, результат NP-твердости доказал бы, что 3-сфера не может быть отделена от других гомологических 3-сфер за полиномиальное время.

— Джефф

7

Просто чтобы добавить к ответу Питера: Хасс, Лагариас и Пиппенгер показали, что проблема узлов в трёх сферах в узлах не существует. Ян Агол доказал, что проблема с узлами в co-NP (но смотрите его комментарии к MathOverflow). По крайней мере, мне кажется, что проблема распознавания трех сфер гораздо больше похожа на неузлобленность, чем на то, чтобы связать род в общем случае трех многообразий. (Потому что это подтверждается наличием положительной эйлеровской характеристической поверхности.)

Таким образом, я хотел бы поспорить, что признание трех сфер также в со-NP. Шаг в этом направлении состоял бы в том, чтобы показать, что распознавание неприводимых тороидальных многообразий происходит в NP непосредственно после Agol. Немного сильнее было бы показать, что распознавание многообразия Хакена лежит в NP. Отделить три сферы от неприводимых неториоидальных многообразий сложнее. Но, возможно, здесь нужно использовать геометрию - если многообразие замкнутое, ориентируемое, неприводимое и атороидальное, то оно имеет одну из восьми геометрий Терстона. Возможно, легко сертифицировать все геометрические, но не гиперболические многообразия, скажем, с помощью почти нормальных расщеплений Хегора. (Хотя границы сложности Хасса, Лагарии и Пиппенгера должны быть как-то заменены.)

$M$

$M$ $N$ $N$ $N$ $M$

$M$

— Сэм Нид
источник

3

Эта статья показывает (хотя я не проверял это), что 3-сфера распознавания * в coNP, предполагая GRH:

$SL(2,\mathbb{C})$

(Возможный интерес: в последующей статье arXiv: 1610.04092 [math.GT] это используется для разработки алгоритма, использующего базы Гробнера.)

* Технически заявлено, что распознавание 3-сферы среди 3-сфер с целочисленной гомологией происходит в coNP, предполагая GRH. Я не эксперт в этой области, но мне кажется, что можно вычислить целочисленную гомологию с учетом триангуляции в поли-времени, и если целочисленная гомология не совпадает с гомологией 3-сферы, то это определенно не 3-сфера.

— Джошуа Грохов
источник