Жесткие нижние оценки теоремы Савича

Прежде всего, заранее прошу прощения за любую глупость. Я ни в коем случае не эксперт по теории сложности (отнюдь! Я студент, берущий свой первый класс по теории сложности). Вот мой вопрос. Теперь теорема Савича гласит, что Теперь мне интересно, если эта нижняя граница была жесткой, то есть это что-то вроде строки недостижимо.

N-Space (е (N)) \subseteq DSPACE ({(е (N))}^{2})

$\text{NSPACE}\left(f\left(n\right)\right) \subseteq \text{DSPACE}\left(\left(f\left(n\right)\right)^2\right)$

NSPACE (f (n)) \subseteq DSPACE ({(f (n))}^{1.9})

$\text{NSPACE}\left(f\left(n\right)\right) \subseteq \text{DSPACE}\left(\left(f\left(n\right)\right)^{1.9}\right)$

Кажется, что здесь должен быть прямой комбинаторный аргумент - каждый узел в графе конфигурации для детерминированной машины Тьюринга имеет только один исходящий ребро, в то время как каждый узел в графе конфигурации недетерминированной машины Тьюринга может иметь больше чем один исходящий край. Алгоритм Савича заключается в преобразовании графов конфигурации с любым исходящим ребром в графы конфигурации с исходящими ребрами. $<2$

Поскольку граф конфигурации определяет уникальную TM (не уверен в этом), комбинаторный размер последнего почти наверняка больше, чем первый. Эта «разница», возможно, является фактором , а может быть и меньше - я не знаю. Конечно, есть много маленьких технических проблем, которые нужно решить, например, как вам нужно убедиться, что нет петель и т. Д., Но мой вопрос, если это разумный способ начать доказывать что-то подобное. $n^2$

cc.complexity-theory space-bounded

— gabgoh
источник

Ответы:

Это хорошо известный открытый вопрос. В теории сложности вы увидите много открытых вопросов, по которым вы удивитесь, почему никому не удалось их решить. Частично причина в том, что нам нужны новые люди, как вы, чтобы помочь нам решить их :)

Чтобы получить последний результат в этой области, показывающий, что алгоритм Савича является оптимальным в некоторой ограниченной модели, см . Статью Аарона Потечина FOCS .

В частности, он начинает с приятного наблюдения, что, поскольку граф конфигурации детерминированной TM имеет только одно исходящее ребро (после фиксации ввода), можно думать о нем как о неориентированном графе, и поэтому вопрос становится примерно таким: ориентированный граф из вершин с двумя специальными вершинами , если мы сопоставим его с вершинным неориентированным графом (также со специальными вершинами ), так что существование каждого ребра в зависит от одно ребро в и есть путь от до в если есть путь между $G$ $n$ $s,t$ $N$ $G'$ $s',t'$ $G'$ $G$ $s$ $t$ $G$ $s'$ и в , насколько больше должно быть от . $t'$ $G'$ $N$ $n$

Чтобы показать, что алгоритм Савича является оптимальным, нужно показать, что должно быть не менее . Чтобы показать , достаточно показать более слабую оценку, что для любой константы . Я почти уверен, что даже неизвестно, хотя, возможно, что-то вроде известно по некоторым не столь интересным причинам. $N$ $2^{\Omega(\log^2 n)} = n^{\Omega(\log n)}$ $L\neq NL$ $N > n^c$ $c$ $N > n^{10}$ $N \geq n^2$

— Боаз Барак
источник

Я думаю, что мы не знаем, является ли это жестким. Иначе мы бы знали, что . $L \neq NL$

— Каролина Солтыс
источник

Хорошая мысль, спасибо :) По второму вопросу - вы видите какие-либо очевидные недостатки в комбинаторном подходе к демонстрации подобных вещей?

— Габго

Теорема Савича - это конкретный алгоритм для моделирования недетерминированного алгоритма f (n) -пространства с использованием функции «разделяй и властвуй» с глубиной O (f (n)) (давая f (n) ^ 2). Для проверки нижних границ необходимо показать, что ВСЕ алгоритмы, которые используют меньше места, не работают на некоторых входах. По этой причине L = NL сложно (а P = NP сложно).

— Деррик Стоули

Мы не знаем, является ли он жестким в том смысле, что мы не знаем, что 2 - лучшее, что можно сделать, но это не значит, что мы не знаем .

N S p a c e (f (n)) \subseteq D S p a c e ((f (n))^{1.9})

$NSpace(f(n)) \subseteq DSpace((f(n))^{1.9})$

— Каве

Ну, мы не. Любое улучшение (даже для определенного , такого как ) будет большим прорывом.

f

$f$

\log n

$\log n$

— Деррик Столи

@ Деррик Столи: Вы упускаете смысл моего комментария. Только знание положительного ответа будет означать, что , аргумент Каролины не дает никаких доказательств трудности знания отрицательного ответа, то есть знания кажется, не помогает с против .

L \neq N L

$L \neq NL$

N S p a c e (f (n)) \subseteq D S p a c e ((f (n))^{1.9})

$NSpace(f(n)) \subseteq DSpace((f(n))^{1.9})$

L

$L$

N L

$NL$

— Каве