Есть ли у нас нетривиальные однородные схемы?

Учитывая алгоритм, работающий во время , мы можем преобразовать его в «тривиальное» однородное семейство цепей для той же самой задачи размера не более . $t(n)$ $\approx t(n)\log t(n)$

С другой стороны, может случиться так, что у нас есть гораздо меньшие однородные схемы для этой проблемы, даже если является оптимальным временем работы. Цепи могут занять больше времени, чем для генерации, но они маленькие. $t(n)$ $t(n)$

Но знаем ли мы на самом деле, как строить такие вещи? Я думаю, что первый вопрос, чтобы задать

(1) Есть ли у нас какие-либо конструктивные примеры нетривиальных однородных схем, т. Е. Однородных схем, размер которых меньше, чем самое известное время выполнения любого алгоритма для той же задачи?

Теперь я считаю, что если проблема находится в , то у нас есть алгоритм экспоненциального времени для поиска оптимальных схем с использованием исчерпывающего поиска: учитывая , мы записываем ответы на все входов (принимая время ); затем мы перечисляем все схемы на входах в возрастающем размере, пока не будет найдена одна, которая дает все правильные ответы. Поиск завершается либо с размером тривиального преобразования, , либо с таблицей истинности функции, если выходные данные равны . (Правка: Томас указывает, что граница равна из-за Шеннона / Лупанова.) $\mathsf{DTIME(t(n))}$ $n$ $2^n$ $(2^n)t(n)$ $n$ $t(n) \log t(n)$ $2^n$ $\{0,1\}$ $O(2^n/n)$

Таким образом, у нас есть неудовлетворительное «да» на вопрос (1): возьмите язык, который труден для любого времени выше , но все еще разрешим; вышеупомянутая процедура выводит таблицу истинности размером . $2^n$ $2^n$

Поэтому мы должны уточнить вопрос (1). Я думаю, что два наиболее интересных случая

(2) Есть ли у нас конструктивные примеры нетривиальных однородных схем полиномиального размера ? (Даже если они генерируются очень медленными алгоритмами.)

(3) Есть ли у нас конструктивные примеры порождаемых полиномиальных нетривиальных однородных цепей полиномиального размера?

Это может быть слишком много, чтобы спросить. Как насчет более простого вопроса: знаем ли мы, что такое возможно? Возможно, нет никаких нетривиальных однородных схем?

(4) Известно ли следующее утверждение как ложное для любого ? (Правка: , спасибо Томасу.) "Если язык имеет однородные схемы размера , то он также имеет алгоритмы, работающие во времени . " (Если это так, то как насчет того, когда «униформа» заменяется на «полиномиально-равномерное время», «форма пространства журнала» и т. Д.?) $s(n) = o(2^n)$ $o(2^n/n)$ $L$ $O(s(n))$ $\tilde{O}(s(n))$

Наконец, если вышеуказанные вопросы слишком сложны,

(5) Есть ли у нас какие-либо конструкции из однородных семейств схем, которые не являются просто преобразованием алгоритмов в схемы (или записью таблицы истинности)?

Постскриптум. Эксперт, которого я спросил об упомянутом выше "О средней однородности и нижних границах цепей" ( pdf ), Santhanam и Williams 2013, что, возможно, является наиболее тесно связанной работой, но она доказывает нижние границы (что схемы, порожденные временем, не являются слишком мощный). Я был бы заинтересован в любой другой связанной работе!

cc.complexity-theory circuit-complexity uniformity

— усул
источник

1,2,3,4: функция идентичности. 5. мне не ясно, что вы подразумеваете под «преобразованием алгоритмов в схемы», мы всегда можем преобразовать однородную схему в машину Тьюринга (с небольшими накладными расходами).

— Каве

@Kaveh, re # 5: Хороший вопрос, но я думаю, что я имею в виду, что кто-то записывает явную конструкцию однородных цепей, которая не выглядит как «преобразование этой ТМ в схему». Кроме того, я думаю, что упомянутое вами преобразование может не означать, что схема «похожа» на алгоритм. Например, скажем, у нас есть схема размера , для генерации которой требуется времени. Мы можем превратить его во время

TM, хорошо, но оно не очень похоже на схему, и наивное преобразование этой TM обратно в схему теперь имеет размер ~

. Я надеюсь, что это показывает, почему вопрос интересует меня.

n

$n$

n^{3}

$n^3$

n^{3}

$n^3$

n^{3}

$n^3$

— Усул

@Kaveh: Как функция идентичности отвечает 1-4?

— Джошуа Грохов

@ Джошуа, мы можем напрямую описать однородную схему (проводного) размера O (n), которая лучше, чем преобразование машины Тьюринга для идентификации в цепь.

— Каве

Я хочу сказать, что есть важные мелкие детали, о которых нам нужно позаботиться, чтобы сделать вопрос ответственным. Другой пример: BPP находится в P / poly, и преобразование вычислимо. Если генерация схемы выполняется эффективным алгоритмом, объединяющим его со значением схемы, то получается эффективная ТМ. Концептуально схема и TM вычисляют один и тот же алгоритм. Тот факт, что размер и время могут не соответствовать точно, является нормальным, они определены для разных вычислительных моделей, и мы знаем, что они не соответствуют. Возможно, время соответствует глубине, а не размеру.

— Каве

Вот ответы на ваши последние два вопроса.

(5) Сортировочные сети - это однородные схемы, которые сортируют так же быстро, как и лучшие алгоритмы ОЗУ, но определенно являются не просто преобразованиями алгоритмов ОЗУ (например, быстрой сортировкой). [ AKS83 , G14 ]

(4) Да, для любых с , но для глупой причине: Каждая функция вычисляется с помощью схемы размера . ( Шеннон доказал это с точностью до постоянной, а Лупанов получил оптимальную постоянную.) По теореме иерархии времени существует функция с равномерной временной сложностью между $s(n)=(1+\varepsilon) \cdot 2^n/n$ $\varepsilon>0$ $(1+o(1)) \cdot 2^n/n$ $f$ и . Это дает контрпример: имеет схемы размера (которые ядуматьвычислимы в времени)но не является вычислимой в времени. Вы, вероятно, должны спросить $\Omega(3^n)$ $O(n \cdot 3^n)$ $f$ $O(2^n/n)$ $2^{\mathrm{poly}(n)}$ $\tilde{O}(2^n/n)$ . $s(n) = o(2^n/n)$

Это интересный вопрос; Я надеюсь, что кто-то может ответить (1) - (3).

— Томас поддерживает Монику
источник

Спасибо, вы правы, я интуитивно хотел исключить этот «верхний ограничивающий» случай, но не знал правильной асимптотики. Я отредактировал вопрос, чтобы включить это дело.

— усуль