Случайные ограничения и связь с полным влиянием булевых функций

Скажем, у нас есть булева функция $f:\{-1,1\}^n\rightarrow \{-1,1\}$ и мы применяем $\delta$случайное ограничение на $f$, Кроме того, скажем, что дерево решений$T$ это вычисляет $f$ сжимается до размера $O(1)$в результате случайного ограничения. Означает ли это, что$f$ имеет очень низкое общее влияние?

Претензия: если$\delta$случайное ограничение $f$ имеет размер дерева решений $O(1)$ (в ожидании), то общее влияние таких $f$ является $O(\delta^{-1})$,

Эскиз доказательства: по определению влияния мы имеем $Inf(f) = n \cdot \Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)]$, Давайте верхнюю границу , сначала применив ограничение, затем выбрав среди оставшихся координат и зафиксировав в случайным образом все, кроме .$\Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)]$$\delta$$i \in [n]$$x_i$

Теперь, если -restrain уменьшает дерево решений до размера , то, в частности, -restrain зависит от скоординированного . Теперь давайте выберем одну случайную нефиксированную координату (среди ) и исправим все остальные случайным образом. Поскольку ограничение зависит не более чем от координат, мы получаем функцию (в один бит), которая не является постоянной с вероятностью не более . Поэтому , как требуется.$\delta$$f$$O(1)$$\delta$$f$$r = O(1)$$\delta n$$\delta$$f$$r$$\frac{r}{\delta n}$$Inf(f) = n \cdot \Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)] \leq \frac{r}{\delta}$

Примечание: приведенное выше утверждение является строгим, принимая функцию четности для битов.$O(1/\delta)$