Наименьшее количество ворот для умножения

Каков наилучший результат для числа затворов в схеме, умножающей два n-разрядных целых числа?

Очевидный метод генерирует $\theta(n^2)$ ворота. Есть лучшие подходы с $\theta(n\log n \log\log n)$ а также $\theta(n\log n2^{\log^*(n)})$ ворота.

Я не смог найти ни одного семейства булевых цепей, которое может обрабатывать умножение с $n\log n$ ворота. Интересно, существует ли такое семейство цепей?

cc.complexity-theory circuit-complexity

— эмир
источник

Вы ищете арифметическую схему или логическую схему?

— Суреш Венкат

Я ищу булеву схему.

— Амир

для записи, что является

O (n \log n)

$O(n \log n)$ алгоритм? Разве это не использует столько ворот?

— ВЗН

@vzn Нет, алгоритм Мартина Фюрера является самым известным, и он дает схему с

O (n \log n 2^{\log^{*} n})

$O(n\log n 2^{\log^* n})$ ворота. Schonhage-Strassen фактически используется в некоторых системах компьютерной алгебры для очень больших чисел.

— Сашо Николов

Есть некоторые накладные расходы, чтобы превратить ТМ в цепь. Время

t (n)

$t(n)$ Алгоритм двери не подвести

t (n)

$t(n)$ ворота. Общий перевод не может быть лучше, чем сложность схемы проблемы значения схемы. С другой стороны, лучшая равномерная сложность не подразумевает нижнюю границу сложности схемы, так как есть издержки также в обратном направлении, то есть могут быть схемы размера

O (n \lg n)

$O(n\lg n)$ даже если нет ТМ с таким временем выполнения для умножения.

— Каве

Ниже приводится подробный обзор 2008 года, который охватывает основные теоретические алгоритмы умножения, в том числе те, которые обсуждались в комментариях к вашему вопросу (в том числе алгоритм Шёнхаге-Штрассена и $O(n\log n \, 2^{\log^* n})$ Алгоритм Фюрера, см. Стр. 335 опроса). Однако реализация - это другой вопрос, и некоторые из этих алгоритмов могут не считаться практичными; Опрос не охватывает практические реализации. Хотя опрос включает в себя алгоритмы для полиномов, степенных рядов, действительных чисел и 2-адических чисел, целые числа являются частным случаем этого (см. Рис. 1 на стр. 336).

Быстрое умножение и его приложения , Бернштейн (Алгоритмическая теория чисел / Публикации MSRI / Том 44, 2008)

— ВЗН
источник

В связанном документе нет страниц 335 или 336. Возможно, вы имели в виду ссылку на другой файл?

— argentpepper

упс! спасибо за совет. вышеуказанная версия отмечена как черновик. эта версия с процитированным pg #s может быть окончательной?

— ВЗН

@vzn:

$\:$ Даже эта бумага имеет большой O по всему

\log^{*} (n)

$\log^*(n)$ ,

$\;\;\;\;$