Фиксированная глубина характеристики ? ?

Это вопрос о сложности схемы. (Определения внизу.)

Яо и Бейгель-Таруи показали, что каждое семейство цепей размером имеет эквивалентное семейство цепей размером глубины два , где выходной вентиль является симметричной функцией, а второй уровень состоит из ворота вентилятора в. Это довольно замечательный «коллапс глубины» семейства контуров: из контура глубины 100 вы можете уменьшить глубину до 2 с помощью только квазиполиномиального раздува (и одного причудливого, но все еще ограниченного элемента наверху). $ACC^0$ $s$ $s^{poly(\log s)}$ $AND$ $poly(\log s)$

Мой вопрос: есть ли известный способ выразить семейство схем , аналогично? Более амбициозно, как насчет семейства схем ? Потенциальные ответы будут иметь вид: «Каждая схема размера может быть распознана семейством размера глубины два , где выходной вентиль является функцией типа а второй уровень вентилей имеет тип " . $TC^0$ $NC^1$ $TC^0$ $s$ $f(s)$ $X$ $Y$

Это не должно быть глубиной два, любой вид фиксированной глубины будет интересным. Было бы очень интересно доказать, что каждая схема может быть представлена на глубине 3 схемой, состоящей только из симметричных вентилей функций. $TC^0$

Некоторые незначительные замечания:

Если ответ тривиален для любой булевой функции (мы можем выразить любую функцию как для s). Для конкретности, давайте потребуем . $f(n)=2^n$ $OR$ $2^n$ $AND$ $f(n) = 2^{n^{o(1)}}$
Ответ также тривиален, если или может быть произвольной функцией, вычислимой в ... :) Я, очевидно, интересуюсь "более простыми" функциями, что бы это ни значило. Это немного скользко, потому что есть симметричные семейства функций, которые не вычисляются. (Есть унарные языки, которые неисчислимы.) Если хотите, вы можете просто заменить и симметричными функциями в выражении, однако меня могут заинтересовать любые другие аккуратные варианты вентилей. $X$ $Y$ $TC^0$ $X$ $Y$

(Теперь для некоторых кратких воспоминаний:

$ACC^0$ - это класс, распознаваемый семейством неограниченных цепей веерной глубины с , и для константы зависящей от размера схемы. ворот возвращает тогда и только тогда сумма его входов делится на . $AND$ $OR$ $MOD_m$ $m > 1$ $MOD_m$ $1$ $m$

$TC^0$ - это класс, распознаваемый цепями постоянной глубины с $MAJORITY$ воротами неограниченного разветвления.

$NC^1$ - это класс, распознаваемый цепями логарифмической глубины с вентилями $AND$ , $OR$ , $NOT$ ограниченного разветвления.

Известно, что когда размер цепи ограничен полиномиальным числом входов.) $ACC^0 \subseteq TC^0 \subseteq NC^1$

cc.complexity-theory circuit-complexity upper-bounds

— Райан Уильямс
источник

Обратите внимание, что схема глубины полиномиального размера , состоящая из симметричных затворов, может быть вычислена схемой глубины полиномиального размера, состоящей из затворов MAJ. (Здесь как обычно размер - число проводов). Итак, в основном вы спрашиваете, можно ли уменьшить глубину до самого себя?

k

$k$

k + 1

$k+1$

T C^{0}

$TC^0$

— Кристоффер Арнсфельт Хансен

Да, это один из способов взглянуть на это! В общем, я ищу любые интересные симуляции фиксированной глубины или .

T C^{0}

$TC^0$

N C^{1}

$NC^1$

— Райан Уильямс

Райан, я не понимаю, какой ответ ты здесь ищешь. Если вы действительно говорите о симметричных затворах, то (поскольку они могут быть смоделированы большинством на глубине два), ваш вопрос эквивалентен распаду TC0 на постоянную глубину (возможно, с небольшим суперполиномиальным увеличением размера) - хорошо известный открытая проблема. Если вы готовы «расслабить» симметрию, то результат Баррингтона кажется настолько хорошим, насколько вы можете надеяться?

— Noam

@Noam: я хотел бы видеть, есть ли другие интересные ответы; если нет, тогда я дам 300 копье. Существуют также промежуточные возможности, например, схемы глубины три с симметричной функцией на выходе, но не обязательно симметричной на двух других уровнях. В любом случае, заставить вас задуматься об этом в течение 5 минут уже стоит 300 наград.

— Райан Уильямс

И теперь (после 8 ноября) мы знаем происхождение этого вопроса ...

— Slimton

Ответы:

Вот небольшое расширение моего комментария к ответу Вооза. Агравал, Аллендер и Датта в своих работах На , и Арифметические схемы $TC^0$ $AC^0$ дают характеристику в терминах арифметических схем. А именно, они показывают, что язык находится в если и только там есть функция в и целое число такое, что $TC^0$ $A$ $TC^0$ $f$ $\sharp AC^0$ $k$

$x \in A$ тогда и только тогда, когда . $f(x) = 2^{|x|^k}$

Обратите внимание, что - это особая форма арифметической схемы с постоянной глубиной над (допускаются только константы 0 и 1, а переменные входные данные могут быть или ). $\sharp AC^0$ $Z$ $x_i$ $1-x_i$

Учитывая, что, как указывает Вооз в своем ответе, для арифметических схем нетривиальное уменьшение глубины, это может быть чем-то, на что стоит обратить внимание.

— Кристоффер Арнсфельт Хансен
источник

Теорема Баррингтона должна дать вам схемы глубины 3 для с разной шириной, что не слишком странно (умножает на 5 циклов). $NC^1$

— Лэнс Фортноу
источник

Я согласен, что из теоремы Баррингтона следует кое-что интересное. Но этот выходной вентиль является очень «несимметричной» функцией :)

— Райан Уильямс

На самом деле кажется, что вы получаете схему глубины 1 ... Представляя перестановку как (скажем) булеву матрицу 5x5, это всего лишь проекции на элемент перемножения-умножения.

— Noam

Я не знаю ответа, и я предполагаю, что это открытый вопрос. Существует очень мало известных примеров таких «удивительных симуляций», подобных Яо / Бейгелю-Таруи и Баррингтону. Одна из этих вещей, которая приходит на ум, это результат Валианта, что для каждого который может быть вычислен с помощью схемы -depth -size, существует в что согласуется с на $f:{0,1}^n\rightarrow{0,1}^n$ $O(\log n)$ $O(n)$ $g$ $NC_0[n^{\epsilon}]$ $f$ входов. (И если схема дляиспользует только линейные операции, чем схема для, что приводит к соединению нижних границ / жесткости матрицы). Но в отличие от это касается функций с несколькими выходами, а также только для цепей линейного размера. Отметим также, чтонетривиальное уменьшение до глубины 4известно для арифметических схем. $2^{n-o(n)}$ $f$ $g$ $NC^1$

— Боаз Барак
источник

Интересно, что существует также характеристика

в терминах арифметических схем: cse.iitk.ac.in/users/manindra/other/…

T C^{0}

$TC^0$

— Кристоффер Арнсфельт Хансен,

Арифметическое сокращение схемы до глубины 4 является еще одним хорошим примером. Я знаю, что Valiant показал, что вы можете разрезать

проводов любого линейного размера, схема глубины логарифма, чтобы оставшаяся цепь имела только

глубину. Я предполагаю, что это влечет за собой "

который соглашается с

O (n / (ε \log \log n))

$O(n/(\varepsilon \log \log n))$

ε \log n

$\varepsilon \log n$

g

$g$

f

$f$

— Райан Уильямс

Кристоффер, вы можете добавить свою ссылку в качестве отдельного ответа? Благодарность!

— Райан Уильямс

@Ryan Да, фиксируя эти

провода к типичному значению, мы видим, что оставшаяся цепь (где каждый выход зависит не более чем от

входов) согласуется с исходной функцией на

входах.

o (n)

$o(n)$

n^{ϵ}

$n^{\epsilon}$

2^{n - o (n)}

$2^{n-o(n)}$

— Вооз Барак