Объяснить тензорную интерпретацию Гурвица статьи Деолаликара

[Примечание: я полагаю, что этот вопрос никоим образом не зависит от правильности или неправильности статьи Деолаликара.]

В блоге Скотта Ааронсона « Оптимизированный Штетл» в дискуссии о недавней попытке Деолаликара на P против NP Леонид Гурвиц сделал следующий комментарий :

Я попытался понять / переформулировать подход, и вот моя, возможно, очень минималистская, попытка: дискретные вероятностные распределения в статье можно рассматривать как тензоры или очень специальные полилинейные полиномы. Предположение «P = NP» каким-то образом дает (полином?) Верхнюю границу тензорного ранга. И, наконец, используя известные вероятностные результаты, он получает несопоставимую (экспоненциальную?) Нижнюю границу для того же ранга. Если я прав, то этот подход очень умный, в хорошем смысле элементарный, способ подтолкнуть предыдущие алгебро-геометрические подходы.

Несмотря на подозреваемые / известные недостатки в доказательстве Деолаликара, мне любопытно:

Каким образом распределения, обсуждаемые в статье Деолаликара, могут рассматриваться как тензоры, и как утверждения его результатов (независимо от их правильности) переводятся в утверждения о тензорном ранге?

[Я читал что-то, что, по моему мнению, было совершенно не связано, а затем у меня был «ага момент», так что я думаю, что я нашел хотя бы часть ответа. Я не уверен, что именно это имел в виду Гурвиц, но для меня это имеет смысл.]

Распределение по п двоичных переменных можно рассматривать как элемент тензорного произведения R 2 ⊗ ⋯ ⊗ R 2 (n факторов) (на самом деле это ассоциированное проективное пространство, но мы вернемся к этому). Если мы помечаем базовые элементы каждой копии R 2 с помощью | 0 ⟩ и | 1 $x_1,...,x_n$$\mathbb{R}^2 \otimes \dotsb \otimes \mathbb{R}^{2}$$\mathbb{R}^2$$|0\rangle$$|1\rangle$тогда базис этого тензорного пространства произведений задается множеством всех n-битных строк. Если у нас есть элемент этого тензорного произведения, коэффициенты которого составляют 1, то мы можем интерпретировать коэффициент любой заданной n-битной строки как вероятность появления этой строки - отсюда распределение вероятности! Теперь, поскольку нам нужны только распределения вероятностей (коэффициенты, суммирующие 1), мы можем нормализовать любой вектор в тензорном произведении, чтобы иметь это свойство. Рассматривая только нормированные тензоры, мы действительно рассматриваем только элементы проективного пространства этого тензорного произведения.

Теперь мы должны связать тензорный ранг с понятием Деолаликара о полилоге параметризуемости. В соответствии с этой страницей Терри Тао, кажется , что понятие Deolalikar о Полилог-parametrizability является то , что распределение может быть «учтено потенциалами» , как ц ( х 1 , . . . , Х п ) = Π п я = 1 р I ( x i ; x p a ( i ) ) где pa (i) - набор переменных polylog (n), определенных как «родители i», и$\mu$$\mu(x_1,...,x_n) = \prod_{i=1}^{n} p_i(x_i ; x_{pa(i)})$ - это распределение по x i, которое зависит только от этих родительских переменных. Причем ориентированный граф родителей должен быть ациклическим.$p_i( - ; x_{pa(i)})$$x_i$

Давайте начнем с очень простого вида распространения. Пусть удовлетворяет μ ( х 1 , . . . , Х п ) = Π п я = 1 р я ( х я ) для некоторых распределений р я (где р я завишу только от й я ). Тогда , надеюсь , понятно , что соответствующий тензор ранг 1 тензор: ( р 1 ( 0 ) | 0 ⟩ $\mu$$\mu(x_1, ..., x_n) = \prod_{i=1}^{n} p_i(x_i)$$p_i$$p_i$$x_i$ .$(p_1(0)|0\rangle + p_1(1)|1\rangle) \otimes \dotsb \otimes (p_n(0)|0\rangle + p_n(1)|1\rangle)$

Для немного более сложного распределения предположим, что мы хотим рассмотреть равномерное распределение по строкам, где (они являются отрицанием друг друга) для всех i . В трактовке Дао языка Деолаликара это будет O ( 1 ) -параметризуемое распределение. Тогда это соответствует тензором ( | 0 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ + | 1 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ ) ⊗ ⋯ $x_{2i} = 1 - x_{2i+1}$$i$$O(1)$ (должно быть нормализованы). Если мы выпишем это полностью, он содержит 2 n / 2 слагаемых и, следовательно, имеет тензорный ранг не более 2 n / 2 над R 2 . Однако над R 2 ⊗ R 2 он имеет тензорный ранг 1! Я полагаю, что последний факт соответствует факту, что факторизация может быть описана O ( n ) числами -$(|0\rangle \otimes |1\rangle + |1\rangle \otimes |0\rangle) \otimes \dotsb \otimes (|0\rangle \otimes |1\rangle + |1\rangle \otimes |0\rangle)$$2^{n/2}$$2^{n/2}$$\mathbb{R}^2$$\mathbb{R}^2 \otimes \mathbb{R}^2$$O(n)$ для каждой пары соседних битов, для каждой из O ( n ) соседних пар. Значительно меньше, чем 2 n действительных чисел, требуемых в теории для произвольного распределения mu на булевом кубе.$O(1)$$O(n)$$2^n$

У меня все еще проблемы с формулировкой двух вопросов, и я буду признателен за дальнейшие ответы на них:

• Уточнение последнего соответствия
• Выписать формулы для тензора, соответствующего параметрическому параметру полилога, и получить верхнюю оценку его ранга.