Лас-Вегас против Монте-Карло сложности рандомизированного дерева решений

Фон:

Сложность дерева решений или сложность запросов - это простая модель вычислений, определяемая следующим образом. Пусть - булева функция. Детерминированная сложность запроса , обозначаемая , представляет собой минимальное количество битов входных данных которые должны быть прочитаны (в худшем случае) детерминированным алгоритмом, который вычисляет . Обратите внимание, что мера сложности - это количество битов ввода, которые читаются; все остальные вычисления бесплатны.f D ( f ) x ∈ { 0 , 1 } n f ( x $f:\{0,1\}^n\to \{0,1\}$$f$$D(f)$$x\in\{0,1\}^n$$f(x)$

Точно так же мы определяем сложность рандомизированного запроса в Лас-Вегасе для , обозначаемого , как минимальное количество входных битов, которые должны считываться в ожидании с помощью рандомизированного алгоритма с нулевой ошибкой, который вычисляет . Алгоритм с нулевой ошибкой всегда выводит правильный ответ, но количество прочитанных им входных битов зависит от внутренней случайности алгоритма. (Вот почему мы измеряем ожидаемое количество прочитанных входных битов.)R 0 ( f ) f ( x $f$$R_0(f)$$f(x)$

Мы определяем сложность рандомизированного запроса Монте-Карло для , обозначенную , как минимальное количество входных битов, которые должны быть прочитаны рандомизированным алгоритмом с ограниченной ошибкой, который вычисляет . Алгоритм с ограниченной ошибкой всегда выводит ответ в конце, но он должен быть корректным только с вероятностью более (скажем).R 2 ( е ) е ( х ) 2 /$f$$R_2(f)$$f(x)$$2/3$

Вопрос

Что известно о вопросе

$R_0(f) = \Theta(R_2(f))$ ?

Известно, что

$R_0(f) = \Omega(R_2(f))$

потому что алгоритмы Монте-Карло, по крайней мере, такие же мощные, как алгоритмы Лас-Вегаса.

Недавно я узнал, что нет никакого известного разделения между этими двумя сложностями. Последняя ссылка, которую я могу найти для этого заявления, относится к 1998 году [1]:

[1] Николай К. Верещагин, Рандомизированные булевы деревья решений: несколько замечаний, Теоретическая информатика, том 207, выпуск 2, 6 ноября 1998 года, страницы 329-342, ISSN 0304-3975, http://dx.doi.org/ 10.1016 / S0304-3975 (98) 00071-1 .

Самая известная верхняя граница одного с точки зрения другого

$R_0(f) = O(R_2(f)^2 \log{R_2(f)})$

из-за [2]:

[2] Kulkarni, R. & Tal, A. (2013, ноябрь). Дробная Чувствительность Блоков. В электронном коллоквиуме по вычислительной сложности (ECCC) (Vol. 20, p. 168).

У меня есть два конкретных вопроса.

1. [Справочный запрос]: есть ли более поздний документ (после 1998 года), в котором обсуждается эта проблема?
2. Что еще более важно , есть ли функция-кандидат, которая, как предполагается, разделяет эти две сложности?

Добавлено в версии 2: добавлена ​​ссылка [2], выделен второй вопрос о существовании функции-кандидата.

Насколько я знаю, это все еще открыто. Самая недавняя статья, в которой упоминаются эти величины и некоторые границы, - Ааронсон и др .: Слабая четность (см. Http://arxiv.org/abs/1312.0036 ). Вы также можете увидеть главу 14 «Юкна: булевы функции» и обзор 1999 года (по-прежнему превосходит 1998!) Бермана и де Вольфа. Другая очень недавняя статья о рандомизированной сложности дерева решений - Magniez et al: http://arxiv.org/abs/1309.7565

Наконец, краткое резюме, которое я сделал для себя в прошлом месяце (без определений):

R 2 <= R 0 <= D <= п

D <= N0 * N1 <= С ^ 2 <= R 0 ^ 2

s <= bs <= C <= s * bs <= bs ^ 2 (новое: [Гилмер-Сакс-Шринивасан]: есть f st bs ^ 2 (f) = O (C (f)))

D <= N1 * BS <= BS ^ 3 <= (3R2) ^ 3

deg <= D <= bs * deg <= deg ^ 3 (новое: [Tal]: bs <= deg ^ 2)

D <= N1 * град

С <= шс * град ^ 2 <= 4 град ^

Гипотеза о чувствительности заключается в том, что s также полиномиально связан с другими параметрами.

Этот вопрос был решен!

$f$

$R_0(f) = \tilde{\Omega}(R_2(f)^{2})$

и даже

$R_0(f) = \tilde{\Omega}(R_1(f)^{2})$

$R_1(f)$

Оба разделения оптимальны с учетом логарифмических факторов!