Для каких семейств графов это обобщенная география в ?

Как упомянул @Marzio, следующая игра называется Generalized Geography .

Для графа и начальной вершины игра определяется следующим образом: $G=(V,E)$ $v \in V$

На каждом ходу (чередуются два игрока), игрок выбирает , и тогда происходит следующее: $u\in N(v)$

$v$ , а также все его края, удаляется из . $G$
$u\to v$ (то есть обновляется, чтобы быть вершиной ). $v$ $u$

Игрок, который вынужден выбрать «тупик» (т. Е. Вершину без исходящих ребер), проигрывает.

В каких семействах графов оптимальная стратегия вычисляется за полиномиальное время?

Например, легко видеть, что если - DAG, то мы можем легко вычислить оптимальную стратегию для игроков. $G$

graph-theory graph-algorithms gt.game-theory

— RB
источник

Игра известна как Generalized Geography и является PSPACE завершенной (даже на плоских ориентированных графах). См. Сложность путей формирования игр для некоторых вариантов (также некоторые варианты полиномиального времени)

— Марцио Де Биаси

Можете быть более конкретными? Например, из ссылки Марцио вы можете видеть, что ограниченная ширина дерева достаточна.

— domotorp

@domotorp: Я думаю, что GG на неориентированных графах сплошной сетки является нерешенной открытой проблемой (возможно, также не изученной). Я буду гуглить немного, чтобы увидеть, если это новая проблема. В то время как в случае направленных сплошных графов сетки, кажется, легко смоделировать «дыры», используя направленные ребра, поэтому он должен быть PSPACE-полным.

— Марцио де Биаси,

Обобщенная география (GG) является PSPACE-полной даже на плоских ориентированных двудольных графах, но, как сообщается в:

Ханс Л. Бодлендер, Сложность игр , формирующих путь , Теоретическая информатика, том 110, выпуск 1, 15 марта 1993 г., страницы 215-245

GG (и некоторые другие PSPACE-полные варианты) линейно разрешимы во времени в графах ограниченной длины деревьев.

ПОБОЧНОЕ ПРИМЕЧАНИЕ: один из вариантов Обобщенной географии, который, как недавно было доказано, является PSPACE-полным, - это Tron ( игра Light Cycles ): по ненаправленному графику два игрока выбирают две разные начальные вершины, а затем по очереди переходят к соседней. вершина от их предыдущего предыдущего в каждом шаге. Игра заканчивается, когда оба игрока не могут больше двигаться. Игрок, который прошел больше вершин, выигрывает (Бодлендер и Клокс предположили, что он будет завершен в PSPACE в 1990 году).
Тильманн Мильцов, Трон, комбинаторная игра на абстрактных графах (2011)

$n \times m$

               Width n
           1 2 3 4 5 6 7 8 
         1 A B A B A B A B    Winning matrix up to 8x8
         2   B B B B B B B 
         3     A B A B A B 
Height m 4       B B B B B  
         5         A B A B 
         6           B B B 
         7             A B 
         8               B

Любопытно, что та же самая матрица получается, если игрок А может выбрать произвольный начальный узел.

Как сказано в комментариях, я думаю, что сложность решения о том, существует ли выигрышная стратегия, когда GG воспроизводится на графиках со сплошной сеткой (с произвольными формами, но без дырок), неизвестна, и, вероятно, не так легко доказать что-либо о это (на самом деле - в некоторой степени связанная с этим - проблема принятия решения, если у графа со сплошной сеткой есть гамильтонов путь , еще открыт, хотя решение о том, имеет ли граф со сплошной сеткой гамильтоновый цикл , разрешимо за полиномиальное время).

Последнее тривиальное примечание: GG разрешимо за полиномиальное время и в полных графах.

— Марцио де Биаси
источник

Вы уверены, что гамильтонов цикл в графе сплошной сетки решается за полиномиальное время? Как я помню, это просто неизвестно, с другой стороны, если эта сплошная сетка имеет некоторые структуры (например, L-образную, T-образную, mxn, ...), она разрешима за полиномиальное время, но я не могу вспомнить ни одной статьи, которая решает ее за полиномиальное время. в целом сплошная сетка графов. У вас есть ссылка?

— Саид

@Saeed Похоже, что Уманс и Ленхарт решили давнюю открытую проблему, см. Гамильтоновы циклы в сплошных сеточных графах . Несколько раз назад я искал недавние / связанные результаты о гамильтоновом пути на сплошных сеточных графах, но ничего не нашел. (Я думаю, что где-то есть еще и связанный с этим вопрос о теории)

— Марцио Де Биаси

Спасибо, это действительно здорово, и это не очень новый FOCS1997 , но я никогда не видел его раньше!

— Саид

Отличный ответ @MarzioDeBiasi. На самом деле я сталкивался с этой проблемой в другом месте, которое можно смоделировать как сеточный граф, но мне было любопытно также его обобщение.

— РБ

Я потратил полчаса, но не смог найти ссылок на Ненаправленную Обобщенную Географию. Я уверен, что кто-то показал, что это PSPACE-полная версия. Может быть, вы знаете об этом?

— domotorp

$1$ $c$ $G-c$ $0$ $c$ $1$

— Saeed
источник