Еще один вариант PARTITION

У меня сведение следующей проблемы с разделом к определенной проблеме планирования:

Входные данные: список целых положительных чисел в неубывающем порядке. $a_1\leqslant\cdots\leqslant a_n$

Вопрос: существует ли вектор такой, что $(x_1,\ldots,x_n)\in\{-1,1\}^n$

Σ_{я знак равно 1}^{N} a_{я} {Икс}_{я} знак равно 0 и

$\sum_{i=1}^na_ix_i=0\qquad\text{and}$

Σ_{я знак равно 1}^{К} a_{я} {Икс}_{я} ⩾ 0 для всех К \in {1, ..., N}

$\sum_{i=1}^ka_ix_i\geqslant 0\quad\text{for all }k\in\{1,\ldots,n\}$

Без второго условия это просто РАЗДЕЛЕНИЕ, следовательно, NP-hard. Но второе условие, кажется, дает много дополнительной информации. Мне интересно, есть ли эффективный способ решить этот вариант. Или это все еще сложно?

— Томас Калиновский
источник

Вот сокращение от PARTITION к этой проблеме. Пусть $(a_1,\dots, a_n)$ будет экземпляром PARTITION. Предположим, что $a_1\leq a_2\leq \dots \leq a_n$ .

Пусть будет «очень большим числом», например, . Рассмотрим экземпляр нашей проблемы. $N$ $N = (\sum_{i=1}^n |a_i|) + 1$

\underset{5 N раз}{\underset{⏟}{N, ..., N}}, N + a_{1}, ..., N + a_{N}, \underset{N раз}{\underset{⏟}{4 N, ..., 4 N}}

$\underbrace{N, \dots, N}_{5n \text{ times}}, N + a_1, \dots, N+a_n,\underbrace{4N, \dots, 4N}_{n \text{ times}}$

Если существует решение для PARTITION, то - это решение нашей проблемы. $x_1,\dots, x_n$
$\underset{4 N раз}{\underset{⏟}{1, ..., 1}}, - {Икс}_{1}, ..., - {Икс}_{N}, {Икс}_{1}, ..., {Икс}_{N}, \underset{N раз}{\underset{⏟}{- 1, ..., - 1}}$ $\underbrace{1, \dots, 1}_{4n \text{ times}},-x_1,\dots,-x_n,x_1,\dots,x_n,\underbrace{-1,\dots,-1}_{n \text{ times}}$
Если есть решение экземпляра нашей проблемы (к которому мы сократили экземпляр PARTITION), то . Таким образом, То есть является решением для PARTITION. $(x_1,\dots,x_{5n},y_1,\dots, y_n, z_1,\dots,z_n)$ $\sum_{i=1}^n a_i y_i \equiv 0 \pmod N$
$Σ_{я знак равно 1}^{N} a_{я} Y_{я} знак равно 0.$ $\sum_{i=1}^n a_i y_i = 0.$ $(y_1,\dots, y_n)$

— Юрий
источник

Спасибо Юрий. В моем приложении важно, чтобы список входов упорядочивался не по убыванию, а вход в вашем сокращении - нет. Я изменю вопрос, чтобы сделать требование заказа более явным.

(N, a_{1}, \dots, a_{n}, N)

$(N,a_1,\ldots,a_n,N)$

— Томас Калиновский

@thomas: я этого не заметил. Теперь я обновил свое решение.

— Юрий