Существуют ли неконструктивные доказательства существования «маленьких» машин Тьюринга / NFA?

После прочтения соответствующего вопроса о неконструктивных доказательствах существования алгоритмов мне стало интересно, есть ли способы показать существование «маленьких» (скажем, состояний) вычислительных машин без фактического их построения.

Формально:

предположим, нам дан некоторый язык и исправим некоторую вычислительную модель (NFA / машина Тьюринга / и т. д.). $L\subseteq \Sigma^*$

Существуют ли какие-либо неконструктивные результаты существования, показывающие, что состояние машины для существует, но без возможности найти (в время) это? $n$ $L$ $poly(n,|\Sigma|)$

Например, есть ли регулярный язык для которого мы можем показать но мы не знаем, как построить автомат с состояниями? $L$ $nsc(L)\leq n$ $n$

( - это недетерминированная сложность состояний , т. е. количество состояний в минимальной NFA, которая принимает ). $nsc(L)$ $L$ $L$

РЕДАКТИРОВАТЬ: после некоторого обсуждения с Марцио (спасибо!) Я думаю, что я мог бы лучше сформулировать вопрос следующим образом:

Существует ли язык и вычислительная модель, для которой выполняется следующее: $L$

Мы знаем, как построить машину, которая вычисляет с состояниями. $L$ $m$

У нас есть доказательство того, что существует состояние машины для (где ), но либо мы вообще не можем ее найти, либо потребовалось бы экспоненциальное время для ее вычисления. $n$ $L$ $n << m$

cc.complexity-theory automata-theory turing-machines

— RB
источник

что такое NSC (L)? кажется, вопрос связан со сложностью сжатия / Колмогорова, которая требует найти маленькие (est) машины для представления строк ...

— vzn

nsc (L) - это недетерминированная сложность состояний L (количество состояний в наименьшем NFA, который принимает L).

— РБ

другая идея / ракурс, может быть, есть какие-то "маленькие" классы схем (другая вычислительная модель), для которых доказано, что они могут вычислять определенные функции, но фактическая конструкция хитрая? SJ недавно упомянул Баррингтона, что разветвленные программы шириной 5 могут вычислять большинство ...?

— ВЗН

@vzn Доказательство теоремы Баррингтона дает простую процедуру преобразования формул в программы ветвления.

— Сашо Николов

@RB: хорошо, вы можете найти более интересные примеры из ограниченной по Колмогорову сложности (в частности, ограниченной по времени сложности). Например, если задана строка

, какая наименьшая машина работает за время

печатает

? В этом случае мы можем легко построить TM, который печатает

, но для нахождения самого маленького требуется сканировать все TM

(ограничение по времени делает его вычислимым). Когда у меня будет больше времени, я расширю свой ответ.

x

$x$

O (2^{n})

$O(2^n)$

x

$x$

x

$x$

| M | < | x |

$|M|<|x|$

— Марцио Де Биаси

Ответы:

Только расширенный комментарий с тривиальным примером; Вы можете выбрать одноэлементный язык:

L_{К} знак равно {M | σ (M) знак равно Σ (К)}

$L_k = \{ M \mid \sigma(M) = \Sigma(k) \}$

т.е. содержит первую (в лексикографическом порядке) занятую бобра машину Тьюринга размера (машина Тьюринга размера которая достигает наибольшего числа 1 на своей ленте после остановки). $L_k$ $k$ $k$

Для каждого язык является регулярным ... но мы не знаем, как построить небольшой DFA, который его распознает (хотя он имеет только состояний) :-) $k$ $L_k$ $\leq 2*k(\log k+2)$

— Марцио де Биаси
источник

Хотя я согласен, что это работает, я искал методы показа существования для явно заданного языка L.

— RB

Что такое «явно заданный язык»?

— Джефф

Язык (для некоторого простого числа ) может быть распознан квантовыми конечными автоматами ограниченной ошибкой (QFA) с -состоянием, но доказательство не является конструктивный. $\mathtt{MOD_p} = \{a^{ip} \mid i \geq 0\}$ $p$ $O(\log p)$

Наиболее известным конструктивно полученным числом состояний является для QFA ограниченной ошибкой, распознающих . $O(\log^{2+o(1)}p)$ $\mathtt{MOD_p}$

REF: раздел 4.2 (Ambainis и Yakaryilmaz, 2015) .

— Абузер Якарылмаз
источник

Другое решение заключается в использовании леммы Хигмана :

Язык, закрытый по подсловам, является регулярным.

$u$ $v$ $u$ $v$

Итак, возьмем любой язык L, его подсловное слово регулярно, но совсем не конструктивно, так как L произвольно.

— CP
источник