Теория гомотопического типа и теоремы Гёделя о неполноте

Теоремы о неполноте Курта Гёделя устанавливают «неотъемлемые ограничения всех, кроме самых тривиальных аксиоматических систем, способных выполнять арифметику».

Теория гомотопического типа обеспечивает альтернативную основу для математики, однолистную основу, основанную на высших индуктивных типах и аксиому однолистности . В книге HoTT объясняется, что типы - это высшие группоиды, функции - это функторы, семейства типов - это дробления и т. Д.

В недавней статье Джереми Авигада и Джона Харрисона «Формально проверенная математика» в CACM обсуждается HoTT в отношении формально проверенной математики и автоматического доказательства теорем.

Применимы ли теоремы Гёделя о неполноте к HoTT?

И если они это сделают,

Нарушена ли теория гомотопического типа теоремой Гёделя о неполноте (в контексте формально проверенной математики)?

lo.logic type-systems homotopy-type-theory

— Hawkeye
источник

Интересный вопрос. Было ли что-то, что вы читали, что подсказывало вам, что HTT не страдает от неполноты Годеля? (Обратите внимание, что предыдущие попытки оснований - таких как теория множеств - также страдают от неполноты Годеля ...)

— Джошуа Грохов

Конечно, HoTT «страдает» от неполноты Гёделя, поскольку он имеет вычислимо перечислимый язык и правила вывода, и мы можем формализовать арифметику в нем. Авторы книги HoTT прекрасно знали о ее незавершенности. (На самом деле, это совершенно очевидно, особенно когда половина авторов - это какие-то логики).

Но разве незавершенность "ухудшает" HoTT? Не больше, чем любая другая формальная система, и я думаю, что весь вопрос немного ошибочен. Позвольте мне попробовать аналогию. Предположим, у вас есть машина, которая не сможет взять вас повсюду на планете. Например, он не может подняться вертикально вверх по стене. Автомобиль "поврежден"? Конечно, это не может привести вас к вершине Эмпайр Стейт Билдинг. Автомобиль бесполезен? Далеко не слишком много интересных мест. Не говоря уже о том, что в Эмпайр Стейт Билдинг есть лифты.

— Андрей Бауэр
источник

Я не думаю, что автомобильная аналогия вполне работает, так как вопрос не столько в том, "Автомобиль бесполезен?" но "Может ли машина служить фундаментом для перевозки?" Но, в любом случае, фундаментальная точка зрения состоит в том, что любая система, которая будет основой математики, обязательно является неполной.

— Дэвид Ричерби

Моя точка зрения заключалась в том, что люди не ожидают существования совершенной транспортной машины, и при этом они не беспокоятся о том, что ее нет, но почему-то они беспокоятся о том факте, что никакая (разумная) основа математики не является полной.

— Андрей Бауэр