Обеспечиваемые разрывы между сложностью дерева решений и «истинной» сложностью

Название немного вводит в заблуждение, но, надеюсь, вопрос не в следующем:

Новый результат Грёнлунда и Петти, показывающий, что 3SUM имеет только сложность дерева решений, заставил меня задуматься: $O(n^{3/2})$

Есть ли простой пример проблемы со сложностью дерева решений но допускающей нижнюю границу (в более детальной модели) ? $O(f)$ $\omega(f)$

Другими словами, как результат на 3SUM должен изменить наше представление о возможности получения значительно более низкой, чем верхней границы сложности задачи? $n^2$

cc.complexity-theory machine-models decision-trees

— Суреш Венкат
источник

Различение элементов может быть решено с помощью бинарного дерева решений постоянной глубины. ( «Все ли элементы различных?») Но нам нужно

глубину , чтобы решить проблему с помощью использования линейных деревьев решений.

Ω (n \log n)

$\Omega(n\log n)$

— Джефф

Модель дерева решений является теоретико-информационной моделью: как только вы узнали достаточно информации о своих входных данных, чтобы ответ был однозначно определен на основе этой информации, все готово. Не имеет значения, если определение ответа по этой информации неразрешимо. Так, например, если входные данные представляют собой n-битную двоичную строку, кодирующую машину Тьюринга, и вопрос заключается в том, останавливается ли эта TM, дерево решений глубины n может тривиально решить эту проблему, поскольку оно знает все n битов, но никакой алгоритм не может решить Эта проблема.

— Робин Котари

Возможно, мне следовало бы сказать «пример простой проблемы» :).

— Суреш Венкат

Ответы:

Meyer auf der Heide описал неоднородное семейство линейных деревьев решений для Subset Sum с глубиной . Аналогичный результат может быть получен из более позднего алгоритма Мейзера для определения местоположения в расположениях гиперплоскости. Конечно, проблема NP-сложная. $O(n^4\log n)$

— Jeffε
источник

Если бы я хотел быть ДЕЙСТВИТЕЛЬНО ПЕДАНТИЧЕСКИМ, я бы указал на то, что NP-хард не является твердой нижней границей. но это хороший пример того, что я ищу.

— Суреш Венкат

Да, но мы не знаем, как доказать твердые нижние границы.

— Джефф

@ Jɛ ﬀ E Знаете ли вы о хорошей записи или изложении этого результата? Мне очень трудно следовать оригиналу, некоторые определения мне не совсем понятны.

— domotorp

По крайней мере, основные определения описаны в моей статье о задачах линейного вырождения .

— Джефф

$O(n\log(\frac{m+n}{n}))$ $\Theta(n+m)$ $m=\omega(n)$

— Сет Петти
источник

Позвольте мне немного не согласиться. В модели RAM нам не обязательно читать весь ввод. В модели машины Тьюринга есть много тривиальных проблем, которые можно решить быстрее с помощью дерева решений (или на машине с ОЗУ). Также см. Комментарий Робина к первоначальному вопросу.

— domotorp