Последствия существования сильно полиномиального алгоритма для линейного программирования?

Одним из основных принципов разработки алгоритма является нахождение сильно полиномиального алгоритма для линейного программирования, т. Е. Алгоритма, время выполнения которого ограничено полиномом по числу переменных и ограничений и не зависит от размера представления параметров (при условии арифметика удельной стоимости). Будет ли решение этого вопроса иметь значение за пределами лучших алгоритмов для линейного программирования? Например, будет ли существование / отсутствие такого алгоритма иметь какие-либо последствия для геометрии или теории сложности?

Изменить: Может быть, я должен уточнить, что я имею в виду под последствиями. Я ищу математические последствия или условные результаты, последствия, которые, как известно, сейчас верны . Например: «полиномиальный алгоритм для LP в модели BSS разделил бы / свернул классы алгебраической сложности FOO и BAR», или «если нет строго полиномиального алгоритма, он разрешает такую-то гипотезу о многогранниках», или «a сильно полиномиальный алгоритм для задачи X, который может быть сформулирован как LP, будет иметь интересные последствия, бла ". Гипотеза Хирша была бы хорошим примером, за исключением того, что она применима, только если симплекс полиномиален.

— Ян
источник

Само собой разумеется, что метод доказательства, используемый для демонстрации этого результата, может быть даже более интересным, чем результат с точки зрения долгосрочного воздействия.

— Суреш Венкат

Ответы:

Это показало бы, что игры с паритетом и средним выигрышем находятся в P. См. Sven Schewe. От игр четности и выигрыша до линейного программирования. MFCS 2009.

— Рахул Савани
источник

превосходно. Я хотел бы дать это больше, чем один +1. это очень крутой результат.

— Суреш Венкат

Может ли кто-нибудь объяснить, как сильно полиномиальный алгоритм для LP подразумевает это? Schewe строит экземпляр LP с полиномиальным размером с двукратно экспоненциально большими числами. Хорошо. Теперь мы запускаем сильно полиномиальный алгоритм времени на нем. Но разве нам не нужно моделировать арифметические операции, которые выполняет этот алгоритм? Как выполняется это моделирование, не тратя сверхполиномиальное время? (напомним, числа вдвойне экспоненциальны; я думаю, что можно было бы сделать китайский трюк с остатками, но можем ли мы сделать сравнение чисел таким образом за полиномиальное время?).

— Slimton

Я еще не внимательно прочитал статью, но, насколько я понимаю, они лишь доказывают, что проблема в P в модели Real RAM / BSS ( en.wikipedia.org/wiki/Blum%E2%80%93Shub%E2 % 80% 93Smale_machine ), а не обычная версия P. Вы можете определить модели вычислений для любого кольца R (см. Ams.org/notices/200409/fea-blum.pdf ). Над

мы получаем нормальные машины Тьюринга, а над реалами

мы получаем модель BSS. Каждое кольцо имеет свою собственную версию P, которая может не совпадать со стандартной P.

Z_{2}

$\mathbb{Z}_2$

R

$\mathbb{R}$

— Ян

Разъяснение к моему предыдущему комментарию: если существует сильно полиномиальный алгоритм для LP, то он является полиномиальным в модели BSS, и в этом случае в статье подразумевается, что игры с четностью и выигрышем также находятся в P в модели BSS.

— Ян

@Ian: Другими словами: этот ответ немного вводил в заблуждение (но это не помешало вам принять его как действительный ответ).

— slimton

$(d n)^{Ackerman(10000)}$ например, алгоритм эллипсоида, помимо его теоретического значения, привел (?) к разработке метода внутренних точек, который в некоторых случаях был быстрее, чем симплексный алгоритм. Это привело к значительному ускорению на практике, так как оба подхода были сжаты до максимального предела того, что можно сделать.

— Сариэль Хар-Пелед
источник

Но эти условия в значительной степени применимы к любому теоретическому результату: он может или не может быть полезным в зависимости от времени выполнения, а методы / идеи в результате могут привести к будущим достижениям.

— Ян

На самом деле, нет. Если некоторая форма гипотезы Хирша верна, а доказательство конструктивно, то это почти наверняка приведет к более быстрым решателям для LP. Короче говоря, если вопрос конкретный, то его последствия очевидны, а если вопрос широкий, то он может ни к чему не привести. Иными словами, единственное верное следствие алгоритма полиномиального времени для LP состоит в том, что мы бы лучше поняли проблему, чем сейчас.

— Сариэль Хар-Пелед

Вот одно следствие для геометрии: сильно полиномиальная оценка для любого варианта (рандомизированного или детерминированного) симплексного алгоритма подразумевает полиномиальную оценку для диаметра любого многогранника графа. Это подразумевает, что «полиномиальная версия» гипотезы Гирша верна.

— Шива Кинтали
источник

но нет никаких оснований полагать, что сильно полиномиальный алгоритм времени для LP должен проходить через симплекс-метод. На сегодняшний день самые известные методы (субэкспоненциальные) используют стратегию случайной выборки + рекурсии.

— Суреш Венкат

К сожалению. Я упустил суть.

— Шива Кинтали

Это верно только в том случае, если симплекс сильно полиномиален. Я ищу результаты, которые имеют более общий характер. Может случиться так, что полиномиальная гипотеза Хирша неверна, но другой алгоритм является строго полиномиальной, или что полиномиальная гипотеза Хирша верна, но симплекс экспоненциальный, поскольку он не может найти короткий путь за полиномиальное время.

— Ян

@Suresh: На самом деле, я почти уверен, что упомянутая вами субэкспоненциальная стратегия случайной выборки + рекурсии (Clarkson-Matoušek-Sharir-Welzl / Kalai, верно?) - это двойной симплексный алгоритм. (Но это не противоречит вашей точке зрения.)

— Джефф

о, подожди. Разве Майкл Голдвассер не разработал это давным-давно в статье SIGACT? Хм. теперь мне нужно идти и копать.

— Суреш Венкат