Разделение классов сложности без теорем иерархии

Теоремы об иерархии являются фундаментальными инструментами. Многие из них были собраны в предыдущем вопросе (см. Какие иерархии и / или теоремы иерархии вы знаете? ). Некоторые разделения классов сложности прямо следуют из теорем иерархии. Примеры таких хорошо известных разделений: , , , . $L\neq PSPACE$ $P\neq EXP$ $NP\neq NEXP$ $PSPACE\neq EXPSPACE$

Однако не каждое разделение следует из теоремы об иерархии. Очень простой пример . Несмотря на то, что мы не знаем, содержит ли какой-либо из них другой, они все еще различны, потому что замкнут относительно полиномиальных преобразований, а нет. $NP\neq E$ $NP$ $E$

Какие существуют более глубокие, безусловные, нерелятивизированные разделения классов сложности для однородных классов, которые непосредственно не следуют из некоторой теоремы иерархии?

cc.complexity-theory complexity-classes hierarchy-theorems

— Андрас Фараго
источник

Я думаю, что немного необычно называть разделением. Также их неравенство по тривиальным причинам и не говорит нам ничего интересного. AFAIK все интересные разделения классов сложности для классов большой сложности полагаются на теоремы иерархии (и, в свою очередь, диагонализацию) в некоторой точке.

N P \neq E

$NP\neq E$

— Kaveh

Правда, это действительно необычно называть разделением, поскольку оно имеет место по тривиальным причинам. Я привел его только для того, чтобы показать простой пример, где не требуется теорема об иерархии.

N P \neq E

$NP\neq E$

— Андрас Фараго

Err, доказательство NP! = E это зависит от теоремы иерархии! Это работает так, что вы сначала предполагаете NP = E, а затем используете свойства замыкания NP, чтобы сделать вывод, что E = EXP, тем самым нарушая теорему иерархии времени.

— Скотт Ааронсон

Спасибо, Скотт, ты совершенно прав.

N P \neq E

$NP\neq E$ не был правильным примером. Я написал лучший ответ.

— Андрас Фараго

Поэтому даже такие неравенства основываются на диагонализации:

E \subseteq N P \subseteq A C^{0} \circ N P \subseteq A C^{0} \circ E \subseteq E X P

$E \subseteq NP \subseteq AC^0\circ NP \subseteq AC^0 \circ E \subseteq EXP$

E ⊊ E X P

$E \subsetneq EXP$

Ответы:

Мне бы очень хотелось, чтобы меня показывали неправильно, но я не думаю, что в настоящее время существуют какие-либо унифицированные нижние границы, которые в конечном счете не основаны на одной из теорем иерархии. Наше нынешнее понимание того, как воспользоваться преимуществами единообразия, действительно в этом смысле весьма ограничено.

С другой стороны, существует множество однородных нижних границ, которые не следуют непосредственно из теорем иерархии, но используют теорему иерархии в сочетании с другими хитрыми приемами, методами и результатами, например:

[Хопкрофт-Пол-Валиант]. Они доказывают, что (недиагонализирующая часть их доказательства), а затем используют тот факт, что $\mathsf{CSL} \not\subseteq \mathsf{DTIME}(n)$ $\mathsf{DTIME}(n) \subseteq \mathsf{DSPACE}(n/\log n)$ $\mathsf{CSL} = \mathsf{NSPACE}(n)$ в сочетании с пространственной иерархией. Их результат + пространственная иерархия также подразумевает . $\mathsf{DSPACE}(n) \nsubseteq \mathsf{DTIME}(n)$
Пространственно-временные компромиссы для удовлетворения (см., Например, введение Бусс-Уильямса и ссылки в нем)
[Пол-Пиппингер-Семереди-Троттер]. Использует нетривиальное моделирование любой детерминированной машины суперлинейного времени на более быстрой машине с четырьмя чередованиями в сочетании с детерминированной иерархией времени. $\mathsf{DTIME}(n) \neq \mathsf{NTIME}(n)$
Однородные нижние оценки перманента [ Аллендер , Аллендер-Гор , Койран-Перифель ]
[Уильямс] (хотя технически это неоднородная нижняя граница, она использует кучу умных идей в сочетании с недетерминированной иерархией времени) $\mathsf{NEXP} \not\subseteq \mathsf{ACC}^0$

— Джошуа Грохов
источник

Является ли разделение $\mathsf{AC}^0\subsetneq\mathsf{TC}^0$ по Смоленскому то , что вы искали?

— Arne
источник

Спасибо, что это хороший результат, но я ищу для разделений

классах, а не схемы классов.

u n i f o r m

$uniform$

— Андрас Фараго

@AndresFarago: униформа AC ^ 0 также правильно включена в униформу TC ^ 0.

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику

@ EmilJeřábek: Есть ли доказательство того, что равномерно

правильно содержится в равномерном

что также еще не доказывает неравномерное утверждение? (Если нет, то, по-видимому, ваш пример подпадает под общий принцип, что неоднородные нижние границы сильнее, чем однородные нижние границы, и я думаю, что OQ пытался избежать таких ответов ...)

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

{T C}^{0}

$\mathsf{TC}^0$

— Джошуа Грохоу

Я думаю, что неоднородность в доказательствах является вторичной по отношению к тому факту, что это довольно маленькие классы, где у нас есть некоторое хорошее комбинаторное / алгебраическое понимание их. Т.е. мы понимаем их достаточно хорошо, чтобы непосредственно построить объект, которого нет в них. Для больших классов такого понимания нет, и поэтому единственный известный нам метод - это диагонализация всего класса для создания таких объектов.

— Kaveh

Еще один нетривиальный пример связан со средним уровнем сложности. Райнер Шулер доказывает интересные свойства класса, который он называет , см. [1]. $P_{P-comp}$

- это класс языков, которые принимаются за полиномиальное время по среднему значению длякаждоговычисляемого (P-вычислимого) распределениязаполиномиальное время . Естественно, имеет место, так как существование алгоритма детерминированного полиномиальногоозначаетчто он остается эффективным в среднем, независимотогочто распределение входного сигнала. Однако условие работы в среднем полиномиальном времени длякаждого $P_{P-comp}$ $\mu$ $\mu$ $P\subseteq P_{P-comp}$ P-вычисляемого входного распределения кажется достаточно сильным, чтобы заподозрить . $P_{P-comp}=P$

Удивительно, но Шулер доказывает , что существует язык , который является Тьюринг-полным для , то есть $L\in P_{P-comp}$ $E$ Это подразумевает безусловное разделение . В то время как последний также использует факт

E \subseteq P^{P_{P - c o m p}} (*)

$E\subseteq P^{P_{P-comp}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (*)$

P_{P - c o m p} \neq P

$P_{P-comp}\neq P$

, который следует из теоремы иерархии времени, новая часть (*) основана на различных инструментах: помимо диагонализации, она использует ограниченную ресурсом меру и колмогоровскую сложность.

E \neq P

$E\neq P$

Ссылка:

[1] Р. Шулер, «Закрытие таблицы истинности и замыкание по Тьюрингу среднего полиномиального времени имеют разные показатели в EXP», CCC 1996, pdf

— Андрас Фараго
источник