Какие иерархии и / или теоремы иерархии вы знаете?

42

В настоящее время я пишу обзор теорем иерархии на TCS. В поисках соответствующих статей я заметил, что иерархия является фундаментальной концепцией не только в TCS и математике, но и во многих науках, от теологии и социологии до биологии и химии. Видя, что объем информации огромен, я надеюсь, что смогу попросить помощи у этого сообщества. Конечно, я не хочу, чтобы вы проводили для меня библиографический поиск, а скорее я прошу два вида информации:

Иерархии и теоремы иерархии, которые являются результатом вашей работы или работы ваших коллег или других людей, с которыми вы знакомы, и вы думаете, что это не так хорошо известно. Это может быть, например, теорема об иерархии для интересующей вас модели вычислений или иерархия конкретных классов, например, связанных с теорией игр.
Иерархии и теоремы об иерархиях, которые вы считаете абсолютно необходимыми для включения в опрос такого рода. Это, вероятно, мне уже известно, но было бы полезно увидеть, какие иерархии вы считаете более важными и почему. Это может быть что-то типа «Я считаю, что очень важен, потому что без него мы не смогли бы проводить такого рода исследования» или «Хотя это не так хорошо известно, в TCS на основе логики мы постоянно используем эту иерархию, и я считаю, это важный инструмент. " , И да, я верю, что у людей из логики есть много иерархий, которые нужно упомянуть, однако имейте в виду, что мы говорим об иерархиях проблем. $PH$

Я буду держать обновленный список здесь:

$DTIME$ Иерархия
$NTIME$ Иерархия
$SPACE$ Иерархия
Арифметическая (также известная как Клини) Иерархия
Гиперарифметическая иерархия
Аналитическая Иерархия
Хомская Иерархия
Иерархия Гжегорчика и связанные с ней: иерархия Вайнера (быстро растущая), иерархия Харди
(медленно растущая) и иерархия Веблена
Иерархия ричи
Иерархия Axt (как определено в Axt63 )
Иерархия петель (определена в MR67 )
$NC$ ( , ) Иерархия $AC$ $ACC$
Иерархия глубины, как определено в Sipser83
Полиномиальная иерархия ( ) и менее изощренная иерархия Мейера-Стокмейера (нет различий между квантификаторами) $PH$
Экспоненциальная иерархия ( ) $ELEMENTARY$
$NP$ Промежуточная иерархия (теорема Ладнера)
Не очень крепкий (Артур-Мерлин) $AM$
(Недетерминированный Fixed-параметры) иерархия и связанная с ним Переменным Вт иерархия ( -hierarchy) и -hierarchy (Вт с зависящей от параметра Глубина) $W$ $AW$ $W^{*}$
Иерархия счета
Иерархия Фурье
Булева иерархия (более ), также равная иерархии запросов (более ) $NP$ $NP$
Иерархии для тестирования свойств, как видно из GoldreichKNR09
Точечная иерархия беззвездных регулярных языков
$BP_{d}(P)$ : классы, решаемые программами ветвления полиномиального размера, с дополнительным условием, что каждый бит ввода проверяется не более d раз, образуют иерархию для различных значений $d$
Временная иерархия для сложности цепей
Полиномиальная иерархия в сложности коммуникации

Примечание. Если вы не хотите, чтобы вас упоминали исключительно, скажите об этом. Как правило, я упомяну как сообщество, так и конкретного человека, который выявляет новую информацию.

— хазисоп
источник

2

Это очень похоже на вопрос сообщества Wiki. Должен ли я преобразовать это?

— Дейв Кларк,

Теорема Ладнер можно обобщить , чтобы получить бесконечные иерархии между другими классами (при условии , что они различны) , например, между Р и Р ^ # Р .

— Тайсон Уильямс

13

Можно также упомянуть теоремы об «антииерархии», то есть теоремы о дихотомии. Теоремы о дихотомии, вероятно, могли бы получить полный обзор самих себя, но, вероятно, их следует хотя бы упомянуть наряду с чем-то вроде теоремы Ладнера.

— Джошуа Грохов

1

Вы спрашиваете только об иерархиях классов задач? Существует также понятие «иерархия тестов», см. , Например , arxiv.org/abs/quant-ph/0308032 .

— Алессандро Косентино

1

Да, рассматриваются только иерархии классов сложности. Даже если их ограничить, существует достаточно много информации для сбора.

— Chazisop

21

Иерархия Фурье, как определено в « Яоюнь Ши, Квантовые и классические компромиссы ».

Из сложности зоопарка :

$\mathsf{FH}_k$ - это класс задач, решаемых однородным семейством квантовых цепей полиномиального размера, где уровней вентилей Адамара и всех других вентилей сохраняют вычислительный базис. $k$

$\mathsf{FH}_0 = \mathsf{P}$

$\mathsf{FH}_1 = \mathsf{BPP}$

$\mathsf{FH}_2$ содержит факторинг из-за алгоритма оценки фазы Китаева .

Открытая проблема - показать, что иерархия Фурье бесконечна по отношению к оракулу (то есть строго содержится в ). $\mathsf{FH}_k$ $\mathsf{FH}_{k+1}$

— Робин Котари
источник

18

- Наряду с «антииерархиями» стоит упомянуть теорему Бородина о разрыве .

Теорема. Для любой итоговой вычислимой функции такой, что , существует итоговая вычислимая такой, что . $f : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ $f(n) = \Omega(n)$ $g : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ ${\sf TIME}[g(n)] = {\sf TIME}[f(g(n))]$

Это противоречило бы теореме иерархии времени, за исключением того, что не конструируемо по времени (именно поэтому мы должны иметь предположения о конструктивности в утверждениях большинства иерархий сложности). $g$

- Есть также интересные укрепления обычных временных иерархий, такие как:

T I M E [n^{k}] ⊈ i . o . - T I M E [n^{k - 1}] / (n - \log n)

${\sf TIME}[n^k] \not\subseteq i.o.{\sf -TIME}[n^{k-1}]/(n-\log n)$

(существуют проблемы во времени, когда не может быть успешно решен с помощью машины времени использующей советов, даже для всего бесконечного количества входных длин). Доказательство легко: позвольте перечислить машин времени, которые принимают битов советов в качестве второго входа. Определите который разбивает на где, запускает и выдает противоположный ответ. Тогда . $n^k$ $n^{k-1}$ $n-\log n$ $\{M_i\}$ $n^{k-1}$ $n-\log n$ $M'(x)$ $x$ $x=yz$ $|z|=\log |x|$ $M_z(x,y)$ $L(M') \notin i.o.{\sf -TIME}[n^{k-1}]/(n-\log n)$

- Отсутствие известных временных иерархий в определенных ситуациях следует рассматривать (как открытые проблемы). Например, является ли ? ${\sf BPTIME}[n] = {\sf BPP}$

— Райан Уильямс
источник

2

Это ? в противном случае утверждение не интересно: просто выберите .

T I M E [g (n)] = T I M E [f (g (n))]

$\mathsf{TIME}[g(n)] = \mathsf{TIME}[f(g(n))]$

g (n) = n

$g(n) = n$

— Сашо Николов

@ Сашо, похоже, так. Утверждение теоремы Бородина о разрыве (по ссылке) говорит о многом.

— Даниэль Апон

16

Сложность зоопарк дает вам некоторые иерархии . Среди них Иерархия Счетов и Булева Иерархия еще не упоминались.

[РЕДАКТИРОВАТЬ] Чтобы сделать мой ответ более информативным, быстрое определение счетной иерархии.

${\sf C_0P} = {\sf P}$
${\sf C_1P} = {\sf PP}$
${\sf C_{k+1}P} = {\sf PP^{C_kP}}$

Затем, что касается полиномиальной иерархии, определяется как . $\sf CH$ $\bigcup_k {\sf C_kP}$

Иерархия счета была определена Вагнером [Wag86]. Связи с теорией пороговых цепей были обнаружены Allender & Wagner [AW93]. Совсем недавно Бюргиссер [Bür09] также использовал счетную иерархию, чтобы связать модель Валианта с гипотезой Шуба и Смейла. В частности, он доказал, что гипотеза подразумевает суперполиномиальную нижнюю оценку перманента. $\tau$ $\tau$

[Wag86] К.В. Вагнер. Сложность комбинаторных задач с кратким входным представлением . Acta Mathematica 23 (3), 325-356, 1986.
[AW93] E. Allender & KW Wagner. Подсчет иерархий: полиномиальное время и схемы постоянной глубины . Современные тенденции в области компьютерных наук , 469-483, 1993.
[Bür09] P. Bürgisser. Об определении целых чисел и доказательстве нижней границы арифметической схемы . Вычислительная сложность 18 (1), 81-103, 2009.

— Bruno
источник

16

Goldreich et. и др. иметь теоремы иерархии для тестирования свойств:

Одед Голдрайх, Михаил Кривелевич, Илан Ньюман, Эяль Розенберг: теоремы иерархии для проверки свойств. Тестирование собственности , Конспект лекций в области компьютерных наук, Vol. 6390, с. 289-294, Springer, 2010.

Также на ECCC .

— Йонатан
источник

здесь показано, что большинство свойств требуют запросов в квантовой модели. Это может быть включено в доказательство теоремы об иерархии ответа, чтобы показать, что оно справедливо и для проверки квантовых свойств. (Фактически для любой естественной вычислительной модели, имеющей хотя бы одно свойство, для тестирования которого требуются запросы , и любой вычислимой вас есть свойства, которые можно проверить в запросов).

Ω (n)

$\Omega(n)$

Ω (g (n))

$\Omega(g(n))$

f (n) \in O (g (n))

$f(n) \in O(g(n))$

Θ (f (n))

$\Theta(f(n))$

— Артем Казнатчеев

15

Sipser показал иерархию глубины в , то есть, что цепи глубины размера poly более мощны, чем цепи глубины размера poly: $AC^0$ $d+1$ $d$

Сипсер М. Борелевские множества и сложность схем . СТОК 1983.

— Джошуа Грохов
источник

11

Дитер Ван Мелкебек и соавторы имеют иерархию времени и пространства для семантических моделей с рекомендациями, включая рандомизацию.

Дитер ван Мелкебек, Константин Первышев: общая временная иерархия с одним советом . Вычислительная сложность 16 (2): 139-179 (2007)
Джефф Кинн, Дитер ван Мелкебек: Результаты пространственной иерархии для рандомизированных и других семантических моделей . Вычислительная сложность 19 (3): 423-475 (2010)

— Тайсон Уильямс
источник

10

Вот больше иерархий для семантических классов с советами. В частности, для ZPTIME и RTIME.

Лэнс Фортноу, Рахул Сантанам, Лука Тревизан. Иерархии для семантических выражений . В STOC'05.

— Маркос Вильягра
источник

10

Существует иерархия Чжэн-Вейхрауха для действительных чисел

X. Zheng и K. Weihrauch. Арифметическая иерархия действительных чисел . Математическая логика ежеквартально. 47 (2001), № 1 51 - 65.

— Кто то
источник

9

Существует класс , определенный в статье 1975 года Л. Адельманом и К. Мандерсом, который является диофантовым аналогом класса . Язык содержится в если существует такой многочлен , что Является ли равным является открытой проблемой. Это равенство показало бы связь между теорией чисел и информатикой. $\mathsf{D}$ $\mathsf{NP}$ $L$ $\mathsf{D}$ $P$

x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1}, \dots y_{n} < p o l y (| x |) : P (x, y_{1}, \dots, y_{n}) = 0.

$x \in L \Leftrightarrow \exists y_1, \dots y_n < poly(|x|) \colon ~P(x, y_1,\dots, y_n) = 0.$

D

$\mathsf{D}$

N P

$\mathsf{NP}$

Существует диофантовый аналог полиномиальной иерархии, называемый «диофантовой иерархией». Полиномиальная и диофантовая иерархии взаимосвязаны:

\forall i \geq 1, Σ^{i} D \subset Σ^{i} P \subset Σ^{i + 1} D

$\forall i \ge 1,~\Sigma^i D \subset \Sigma^i P \subset \Sigma^{i + 1}D$

— Александр Кноп
источник

Вы имеете в виду doi.ieeecomputersociety.org/10.1109/SFCS.1975.9 или doi.ieeecomputersociety.org/10.1109/SFCS.1976.13 ?

— Андрас Саламон

D

$D$ определяется во втором («Диофантова сложность»).

— GMB

@ AndrásSalamon Ссылки не работают.

8

Другая строгая иерархия: ветвящиеся программы, которые проверяют каждый бит ограниченное количество раз. Чем больше тестов разрешено, тем больше класс ветвящихся программ. Обычно программы ветвления также ограничены полиномиальным размером. BP _d (P) - это класс программ разветвления полиномиального размера, которые могут проверять каждый бит до раз. $d$

L / poly - это объединение BP _d (P) по всем d , а BP _d-1 (P) BP _d (P) для каждого d . $\subsetneq$

— Андраш Саламон
источник

8

В теории параметризованной сложности существует несколько иерархий, хотя в публикациях часто встречается только упомянутая -иерархия. Другие являются: $\mathsf{W}$

$\mathsf{A}$ -иерархия
$\mathsf{AW}$ -hierarchy
$\mathsf{EW}$ -иерархия
$\mathsf{LOG}$ -иерархия
$\mathsf{M}$ -иерархия
$\mathsf{S}$ -иерархия
$\mathsf{W^∗}$ -иерархия
$\mathsf{W^{func}}$ -иерархия

Все они описаны в теории параметризованной сложности, Flum и Grohe, Birkhäuser, 2006 .

— Martin Lackner
источник

7

Не уверен, что это соответствует вашим критериям, но есть иерархия точек-глубин регулярных языков без звездочек.

— mhum
источник

6

Иерархия для размера цепи, см. Предыдущий вопрос .

— Эмануэле Виола
источник

5

Теория регулярных языков бесконечных деревьев породила несколько иерархий, которые в настоящее время изучаются, и многие вопросы остаются открытыми.

При использовании автоматов на бесконечных деревьях условие четности (или условие Мостовского) представляет особый интерес, поскольку недетерминированные автоматы четности могут выражать все регулярные языки бесконечных деревьев, а структура условия принятия проще, чем другие, такие как Рабин или Мюллер ,

Каждый автомат четности имеет ранг где и , описывающий структуру условия принятия. Поэтому, если язык распознается автоматом (det / ND / alt) ранга мы говорим, что принадлежит -уровню (соответственно): $[i,j]$ $i\in\{0,1\}$ $i\leq j$ $L$ $[i,j]$ $L$ $[i,j]$

детерминистская иерархия Мостовского (не все обычные языки)
недетерминированная мостовская иерархия
чередующаяся мостовская иерархия

Уровень знакопеременной иерархии (т. определяется как по Бючи, так и по ко-Бючи) соответствует слабому уровню и характеризуется слабыми знакопеременными автоматами, которые порождают иерархию: $\Sigma_2\cap \Pi_2$ $L$

слабая иерархия индексов (не все обычные языки)

Для всех этих иерархий (кроме детерминированной) разрешимость членства в уровне для данного регулярного языка является открытой проблемой. Связи между этими иерархиями и топологическими классификациями (также называемыми иерархией Ваджа и иерархией Бореля) также создали несколько открытых проблем. Например, предполагается, что слабая иерархия индекса и борелевская иерархия совпадают. Известно, что все эти иерархии являются строгими, и в последнее время были решены некоторые особые случаи определения уровня (особенно низких уровней или с помощью входного детерминированного автомата). $L$

— оборота дкупер
источник

4

В сложности пропозиционального доказательства есть иерархии, подобные иерархическим сложностям. Например, пропозициональные системы крыш аналогичны , системы доказательства C-Фреге для аналогичны классам сложности схем и т. Д. $G_i$ $\mathsf{PH}$ $C \subset \mathsf{P}$ $C$

Существуют также иерархии в ограниченной арифметике, например, теории и т. Д. $\mathsf{S^i_j}$

— Кава
источник

4

Вот новая иерархия для контекстно-свободных языков от Tomoyuki Yamakami.

Он вводит механизм оракула в недетерминированных автоматах с понижением, а также понятия Тьюринга и сводимости «многие один». Затем создается новая иерархия для контекстно-свободных языков (CFL), аналогичная полиномиальной иерархии. Например, , и т. Д. Интересная часть всего этого заключается в том, что коллапс в иерархии CFL происходит тогда и только тогда, когда рушится иерархия полиномов. $CFL$ $CFL^{CFL}$

— Маркос Вильягра
источник

3

Разработка одного из пунктов, упомянутых в OP (GoldreichKNR09): существует несколько теорем иерархии в тестировании свойств и доказательств близости, касающихся сложности запроса, адаптивности или тестируемости в отношении количества раундов (для доказательств близость). Смотрите, например,

Теоремы об иерархии для проверки свойств , Одед Голдрайх, Михаил Кривелевич, Илан Ньюман и Эял Розенберг, 2012. https://link.springer.com/article/10.1007/s00037-011-0022-4 [упомянуто ОП]
Теорема об иерархии для интерактивных доказательств близости , Том Гур и Рон Ротблюм, 2017. http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2017/8153/
Теоремы об иерархии для проверки свойств в запутанном запросе сложности , Одед Голдрайх, 2018. https://eccc.weizmann.ac.il/report/2018/098/
Теорема об адаптивной иерархии для тестирования свойств , Clément Canonne и Tom Gur, 2018. https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00037-018-0168-4

— Климент С.
источник

Указатель на этот ответ , который фокусируется на первом (GoldreichKNR09).

— Клемент С.

3

Из этого вопроса о cs.stackexchange я узнал об иерархии рода обычных языков . По сути, вы можете охарактеризовать обычные языки на основе минимальной поверхности рода, в которую может быть встроен график их DFA. В [1] показано, что существуют языки произвольно большого рода и что эта иерархия правильная.

Бонфанте, Гийом и Флориан Делуп. « Род регулярных языков». Математические структуры в информатике 28.1 (2018): 14-44.

— mhum
источник

2

Считая полиномиальную иерархию, #PH для краткости. Первый уровень - #P, затем #NP ... и т. Д.

— Тайфун Пей
источник

1

Полиномиальная иерархия в сложности коммуникации, как определено Бабаем, Франком и Саймоном (см. Оригинальную статью здесь и без платной информации здесь ). Значение этой иерархии трудно переоценить. Прежде всего, функция дизъюнктивности была введена BFS в той же статье, в которой была представлена иерархия, а дизъюнктивность вполне естественно возникла как задача coNP -полная. Как вы знаете, дизъюнктность является функцией в коммуникационной сложности. Во-вторых, доказательство нижних границ полиномиальной иерархии в сложности коммуникации является основной открытой проблемой с важными последствиями в других областях TCS (например, см. Эту статью и ссылки в ней). $^{cc}$

— Денис Панкратов
источник

Спасибо за добавление, я отредактировал ваш комментарий, чтобы прояснить, что coNP относится к сложности коммуникации (я знаю, что это обычно отбрасывается в сообществе сложности коммуникации, чтобы избежать беспорядка обозначений).

— chazisop

1

Рассмотрим Однозначную Полиномиальную Иерархию, ссылку здесь , оригинальную ссылку здесь для однозначной Полиномиальной Иерархии (Paywalled). При изучении булевой иерархии BH и таких классов, как которые имеют хорошие результаты, связанные с замыканием, и устанавливают различия, мы можем исследовать связи с однозначными вычислениями. $D_{p}$

Как утверждают авторы (в оригинальной ссылке), классы и дают результаты, связанные с и . При однозначной схеме они могли бы характеризовать разному. Кроме того, с вышеуказанной иерархией связана однозначная иерархия обещаний. Результаты Lowness для Однозначной Полиномиальной Иерархии - «если для установлен разреженный Завершитель Тьюринга , иерархия падает до более низких уровней или в Однозначный Случай Обещания». $NC^{k}$ $AC^{k}$ $P$ $PSPACE$ $P$ $UP$

Для дальнейшего изучения булевых связок и изоморфизма графов относятся Низкая и Высокая Иерархии , также ссылка на Википедию .

— оборота user3483902
источник

0

Еще немного о неясной стороне: моя теорема об иерархии второго порядка для логики с неподвижной точкой в теории конечных моделей. См. Еще одну теорему об иерархии .

— Макс Кубершки
источник