Представление ИЛИ с полиномами

Я знаю, что тривиально функция OR для переменных может быть точно представлена ​​полиномом следующим образом: , который имеет степень .х 1 , ... , х п р ( х 1 , ... , х п ) р ( х 1 , ... , х п ) = 1 - П п я = 1 ( 1 - х я )$n$$x_1,\ldots, x_n$$p(x_1,\ldots,x_n)$$p(x_1,\ldots,x_n) = 1-\prod_{i = 1}^n\left(1-x_i\right)$$n$

Но как я могу показать, что кажется очевидным, что если - это многочлен, который точно представляет функцию OR (поэтому ), то ?$p$$\forall x \in \{0,1\}^n : p(x) = \bigvee_{i = 1}^n x_i$$\deg(p) \ge n$

Пусть - булева функция. Если оно имеет полиномиальное представление P, то оно имеет полилинейное полиномиальное представление Q степени deg Q ≤ deg P : просто замените любую степень x k i , где k ≥ 2 , на x i . Таким образом, мы можем ограничить наше внимание полилинейными полиномами.$f\colon \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$P$$Q$$\deg Q \leq \deg P$$x_i^k$$k \geq 2$$x_i$

Утверждение: Полиномы , как функции { 0 , 1 } п → R образуют базис для пространства всех функций { 0 , 1 } п → R .$\{ \prod_{i \in S} x_i : S \subseteq [n] \}$$\{0,1\}^n \to \mathbb{R}$$\{0,1\}^n \to \mathbb{R}$

Доказательство. Сначала покажем, что полиномы линейно независимы. Предположим, что для всех ( x 1 , … , x n ) ∈ { 0 , 1 } n . Докажем (сильной) индукцией по | S | что с S = 0 . Предположим, что c T = 0 для всех | $f = \sum_S c_S \prod_{i \in S} x_i = 0$$(x_1,\ldots,x_n) \in \{0,1\}^n$$|S|$$c_S = 0$$c_T = 0$ , и давайте дадим множество S мощности k . Для всех T ⊂ S мы знаем по индукциичто с Т = 0 и т 0 = F ( 1 S ) = гр S , где 1 S является входомкоторый является 1 по координатам S .$|T| < k$$S$$k$$T \subset S$$c_T = 0$$0 = f(1_S) = c_S$$1_S$$1$$S$$~\qquad\square$

Утверждение показывает, что полилинейное представление функции является уникальным (действительно, f даже не должно быть 0 / 1- значным). Единственное мультилинейное представление OR - это 1 - ∏ i ( 1 - x i ) , имеющее степень n .$f\colon \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$f$$0/1$$1-\prod_i(1-x_i)$$n$

Пусть - такой многочлен, что для всех x ∈ { 0 , 1 } n , p ( x ) = O R ( x ) . Рассмотрим симметризацию многочлена p : q ( k ) = $p$$x\in \{0,1\}^n$$p(x) = \sf{OR}(x)$$p$Обратите внимание, что, поскольку функция OR является симметричной булевой функцией, мы имеем ее дляk=1,2,…,n,q(k)=1иq(0)=0. Посколькуq-1- ненулевой многочлен, и он имеет по крайней мереn0, он должен иметь степень по крайней мереn. Следовательно,

Симметризация часто используется при изучении приближенной степени булевых функций и сложности квантовых запросов. См., Например, http://www.math.uwaterloo.ca/~amchilds/teaching/w11/l19.pdf .

Юваль и Генри дали два разных доказательства этого факта. Вот третье доказательство.

Во-первых, как и в ответе Ювала, мы ограничиваем наше внимание полилинейными полиномами. Теперь вы уже продемонстрировали полилинейный полином степени , равный функции OR. Теперь все, что нам нужно показать, - это то, что этот многочлен является уникальным, и, следовательно, вы нашли одно-единственное представление функции OR как многочлена. Следовательно, его степень равна n .$n$$n$

Утверждение: если два гиперлинейных полинома p и q равны на гиперкубе, то они везде одинаковы.

Доказательство. Пусть r (x) = p (x) - q (x), и мы знаем, что r (x) = 0 для всех x в . Мы хотим показать, что r (x) тождественно равен нулю. Для противоречия предположим, что это не так, и выберите любой моном в r с ненулевым коэффициентом, который имеет минимальную степень. Установите все переменные вне этого монома равными 0, а все переменные в этом мономе равными 1. На этом входе r (x) отлично от нуля, но этот вход является логическим, что противоречит.$\{0,1\}^n$