Является ли сумма подмножества DAG приближенной?

Мы дали направленный ациклический граф с номером , связанным с каждой вершиной ( г : V → N ), и целевым числом Т ∈ N .$G=(V,E)$$g:V\to \mathbb{N}$$T\in \mathbb{N}$

Проблема DAG подмножества суммы (может существовать под другим именем, ссылка будет большой) спрашивает , есть ли вершины , таким образом, что Σ v я г ( v я ) = Т и v 1 → . , → v K представляет собой путь в G .$v_1,v_2,...,v_k$$\Sigma_{v_i}g(v_i) = T$$v_1\to..\to v_k$$G$

Эта задача тривиально NP-полная, так как полный транзитивный граф дает классическую задачу о сумме подмножеств.

Алгоритм аппроксимации для задачи о сумме подмножеств DAG представляет собой алгоритм со следующими свойствами:

1. Если существует путь с суммой T, алгоритм возвращает TRUE.
2. Если для некоторого c ∈ ( 0 , 1 ) нет пути, суммирующего до числа между и T , алгоритм возвращает FALSE.$(1 − c)T$$T$$c\in (0,1)$
3. Если есть путь, суммирующий число между и T , алгоритм может вывести любой ответ.$(1 − c)T$$T$

Известно, что сумма подмножеств аппроксимируется за полиномиальное время для всех .$c>0$

То же самое относится и к DAG-Subset-Sum?

Мне кажется, алгоритм псевдополиномиального динамического программирования для задачи Subset Sum также работает для этой задачи. Для каждой вершины мы вычисляем множество L i, состоящее из всех возможных значений путей, оканчивающихся на v i . Тогда мы имеем рекуррентное соотношение: L i = { g ( v i ) } ∪ { x + g ( v i ) ∣ x ∈ ⋃ j ∈ p r e c ( i )$v_i$$L_i$$v_i$ . Следуя топологическому порядку, все L i можно вычислить за время O ( K m ) , где K - общий вес, а m - количество ребер.$L_i=\{g(v_i)\}\cup\{x+g(v_i)\mid x\in \bigcup_{j\in prec(i)} L_j\}$$L_i$$O(Km)$$K$$m$

Я думаю, что стандартное масштабирование и округление также может быть применено для получения FPTAS.