Ограниченные входные биекции бесконечных последовательностей

Вот загадка, которую мне не удалось решить. Я хотел бы знать, если эта проблема уже известна, или имеет простое решение.

Можно определить биекцию используя свойства бикартезианских замкнутых категорий. Андрей Бауэр опубликовал объяснение того, что это значит, в своем блоге как « Конструктивный камень: жонглирование экспонентами ».$3^\mathbb{N} \cong 5^\mathbb{N}$

Эта биекция обладает интересным свойством: это «ограниченный ввод», означающий, что каждый компонент вывода зависит только от ограниченного числа компонентов ввода. Однако для кажется, что эта конструкция может показать только то, что и изоморфны, если и оба нечетны или оба четны. Это оставляет открытым вопрос:k N l N k $k,l\geq 2$$k^\mathbb{N}$$l^\mathbb{N}$$k$$l$

Существует ли биекция с ограниченным входом от до ? 3 $2^\mathbb{N}$$3^\mathbb{N}$

Вот короткое примечание, описывающее проблему более подробно: Гипотеза относительно ограниченных входных биекций бесконечных последовательностей .

Определения:

Функция является ограниченно-входной, если существует целое число такое, что каждый компонент вывода зависит только от не более чем компонентов ввода. Более формально, является ограниченным входом, если для каждого индекса есть индексы и функция такой, что для всех компонент равен . K F к F J ∈ J я 1 , ⋯ , я K ∈ я е т : Х я 1 × ⋯ × Х я к → Y J х ∈ Х е ( х ) j f j ( x i 1$f : \prod_{i \in I} X_i \rightarrow \prod_{j\in J} Y_j$$k$$f$$k$$f$$j \in J$$i_1,\dotsb,i_k \in I$$f_m : X_{i_1}\times\dotsb\times X_{i_k} \rightarrow Y_j$$x \in X$$f(x)_j$$f_j(x_{i_1},\dotsb,x_{i_k})$

Биекция является биекцией с ограниченным входом, если она является функцией с ограниченным входом.$f$

Биекция является изоморфизмом с ограниченным входом, если он и его обратное являются функциями с ограниченным входом. Это тоже интересно.$f$

Я не парень по теории КС. Но в эргодической теории этот тип отображения известен как финитарные изоморфизмы. Например, люди рассматривали вопрос о том, являются ли две последовательности Бернулли одной и той же энтропии конечно изоморфными или нет. Например (это односторонний сдвиг, потому что кажется, что вы заинтересованы в а не в ): П $P^{\mathbb{N}}$$P^{\mathbb{Z}}$

А. Дель Юнко, «Финитные коды между односторонними сдвигами Бернулли», Эргодическая теория динамических систем, вып. 1, с. 285–301, 1981.

PS Я намерен оставить это как комментарий, но не могу из-за отсутствия репутации. Дайте мне знать, если это не по теме, тогда я его удалю.

$k^\mathbb{N}$$2^\mathbb{N}$$k$$k = 3$$k - 2$$k - 1$

$2^\mathbb{N} \to k^\mathbb{N}$

$i$$i$ $k$

$k$$k$$i$$k$$k i$