Генерация графов с тривиальными автоморфизмами

Я пересматриваю некоторую криптографическую модель. Чтобы показать его неадекватность, я разработал искусственный протокол, основанный на изоморфизме графа.

Это «обычное дело» (еще спорный!) Предположить существование BPP алгоритмов способны генерировать «жесткие экземпляры проблемы Изоморфизма графов.» (Вместе со свидетелем изоморфизма.)

В моем надуманном протоколе я предполагаю существование таких алгоритмов BPP, которые удовлетворяют одному дополнительному требованию:

• Пусть сгенерированные графы будут и G 2 . Есть только один свидетель (перестановка), который отображает G 1 в G 2 .$G_1$$G_2$$G_1$$G_2$

Это означает, что имеет только тривиальные автоморфизмы . Другими словами, я предполагаю существование некоторого алгоритма BPP, который работает следующим образом:$G_1$

1. На входе сгенерируем n- вершинный граф G 1 так , чтобы он имел только тривиальные автоморфизмы.$1^n$$n$$G_1$
2. Выберите случайную перестановку над [ $\pi$$[n]=\{1,2,\ldots,n\}$$G_1$$G_2$
3. $\langle G_1,G_2,\pi \rangle$

Я предполагаю, что на шаге 1 $G_1$$\langle G_1,G_2 \rangle$

Мое предположение разумно? Может ли кто-нибудь указать мне некоторые ссылки?

По крайней мере, первый наивный подход, о котором можно подумать, не работает. Подход, который я имею в виду, состоит в том, чтобы просто генерировать чисто случайно. Поскольку почти все графы не имеют симметрий (то есть доля графов на n вершинах без нетривиальных автоморфизмов приближается к 1 при n $G_1$$n$$n \to \infty$$G_1$

Но у второго наивного подхода есть шанс сработать: сгенерировать случайный регулярный граф (непостоянной степени, поскольку изоморфизм графов постоянной степени находится в P). Это также не имеет нетривиальных автоморфизмов с высокой вероятностью [KSV], но результат Бабая-Кучеры неприменим (как они указывают в статье). Доказательство того, что это неуязвимый генератор, очевидно, требует некоторых предположений, но можно представить, что безоговорочно доказывают, что изоморфизм регулярных графов среднего случая так же труден, как изоморфизм графов наихудшего случая, хотя я не знаю, насколько это вероятно. (Обратите внимание, что изоморфизм регулярных графов в худшем случае эквивалентен изоморфизму (в общем случае) графа в худшем случае.)

[BK]. Ласло Бабай, Людик Кучера, Каноническая маркировка графиков по линейному среднему времени . ФОКС 1979, с.39-46.

[KSV] Чжон Хан Ким, Бенни Судаков и Ван Х. Ву. Об асимметрии случайных регулярных графов и случайных графов . Случайные структуры и алгоритмы, 21 (3-4): 216-224, 2002. Также доступно здесь .