Перевод SAT в HornSAT

26

Можно ли перевести булеву формулу B в эквивалентное соединение выражений Хорна? Статья в Википедии о HornSAT, похоже, подразумевает, что это так, но я не смог найти какую-либо ссылку.

Обратите внимание, что я имею в виду не «за полиномиальное время», а скорее «вообще».

reference-request lo.logic sat

— Евгений Торстенсен
источник

1

Что вы подразумеваете под "переводить"? Очевидно, есть экземпляры SAT, которые нельзя записать в виде формулы HornSAT. Например, пункт (p или q). Но, возможно, вы имеете в виду, что вы хотите получить такое сокращение, чтобы входная формула SAT была удовлетворительной, если бы выходная формула HornSAT была удовлетворительной? В этом случае, конечно, есть тривиальное снижение, так как вы не заботитесь об эффективности ...

— Арнаб

Я не имею в виду равнодушных, поскольку это действительно тривиально без ограничений на эффективность. Я имею в виду эквивалент, как в «иметь одинаковые удовлетворяющие назначения», когда мы рассматриваем переменные, общие как для экземпляра SAT, так и для соответствующего экземпляра HornSAT (если нам нужно было добавить некоторые вспомогательные переменные, мы их спроектируем). Я согласен, что это не должно быть возможно, именно для примера (P v Q), но я не знаю, как это доказать. Вы имеете в виду эскиз доказательства?

— Евгений Торстенсен

3

Вопрос по-прежнему неоднозначен. Можете ли вы объяснить, что вы подразумеваете под «проецировать их»? Вы имеете в виду, что «назначение A удовлетворяет экземпляру SAT F, если существует присваивание B вспомогательным переменным таким образом, что (A, B) удовлетворяет экземпляру HornSAT F '»? Если так, то я думаю, что вы можете сделать это, просто используя P-полноту HornSAT.

— Райан Уильямс

24

Нет. Конъюнкции клаузор Рога допускают наименьшее количество моделей Гербранда, чего не допускают дизъюнкции положительных литералов. Ср Ллойд, 1987, Основы логического программирования .

Наименее модели Гербранда обладают свойством, что они находятся на пересечении всех получателей. Модели Эрбрановы для являются , который не содержит его пересечение, так что, как говорит Арнаб, является примером формулы который не может быть выражен как совокупность клаузул Рога. $(a \lor b)$ $\{\{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}$ $(a \lor b)$

Неверный ответ перезаписан

— Чарльз Стюарт
источник

Умно, но предложение -a_1 & ... & -a_n -> # не является предложением Хорна.

— Евгений Торстенсен

@ Евгений: это так.

— Раду GRIGore

4

Роговое предложение - это дизъюнкция литералов с не более чем одним положительным литералом. Преобразуя вышеприведенное в дизъюнкцию литералов, мы получаем a_1 v ... v a_n со всеми положительными литералами. Вышеупомянутое предложение - двойной Рог, но это не помогает моему интересу.

— Евгений Торстенсен

@ rgrig: нет, я был сбит с толку. @ Евгений: Ответ исправлен.

— Чарльз Стюарт

5

Выравнивание может быть достигнуто следующим образом (снижение с 2SAT до HornSAT). Таким образом, также может быть сведен к формуле Хорна таким образом. Спасибо Джошуа Горхову за указание на это сокращение. $(p \lor q)$

Входные данные: формула 2-SAT с предложениями , ..., для переменных , ..., . $\phi$ $C_1$ $C_k$ $x_1$ $x_n$

Построим формулу Рога следующим образом: $Q$

Будет 4 ( выбирать ) новых переменных, по одной на каждое возможное предложение 2-cnf для переменных содержащее не более 2 литералов ( не только предложения в ) - это в том числе единичных статей и пустой п .. новый переменный , соответствующая п будет обозначать . $\times$ $n$ $2$ $+ 2n + 1$ $x$ $C_i$ $\phi$ $D$ $z_D$

4 ( выберите ) происходит из того факта, что каждая пара порождает четыре предложения 2-cnf. исходит из того , что каждый могу создать 2 единицы положения. И, наконец, «один» происходит из пустого предложения. Таким образом, общее количество возможных предложений 2-cnf равно 4 ( выберите ) . $\times$ $n$ $2$ $(x_i, ~x_j)$ $2n$ $x_i$ $=$ $\times$ $n$ $2$ $+ 2n + 1$

Если 2-cnf-предложение следует из двух других 2-cnf-предложений и на одном шаге разрешения, то мы добавляем предложение Horn к ... Снова, мы делаем это для всех возможных 2-CNF положений - все 4 ( выбрать ) из них - не только в . $F$ $D$ $E$ $(z_D \land z_E \to z_F)$ $Q$ $\times$ $n$ $2$ $+2n+1$ $C_i$

Затем мы добавим блок пункты к , для каждого п появляющимся во входной ... Наконец, мы добавим пункт блока на . $z_{C_i}$ $Q$ $C_i$ $\phi$ $(\neg z_{empty})$ $Q$

Формула Рога теперь завершена. Заметим, что переменные, используемые в , полностью отличаются от переменных, используемых в . $Q$ $Q$ $\phi$

— Мартин Сеймур
источник

Кто-нибудь знает об алгоритме в другом направлении? Учитывая формулу Хорна

, существует ли способ получить эквивалентное выражение 2SAT (2CNF)

, так что

выполнимо тогда и только тогда, когда

равно? Использование того же набора переменных, или использование дополнительных переменных, или использование совершенно другого набора переменных (как сделано в ответе выше)? Или доказательство того, что это невозможно?

ϕ_{1}

$\phi_1$

ϕ_{2}

$\phi_2$

ϕ_{1}

$\phi_1$

ϕ_{2}

$\phi_2$

— Мартин Сеймур

2

Я не думаю, что это возможно. Там нет никакого способа, например, для записи в виде конъюнкции роговых положений , поскольку только Outlaws одной уступки истины, а именно 0011. Любого положения рога с менее чем 4 литерала будут запрещать более 1 присваивания правды, а клаксоны с 4 литералами могут ставить вне закона только правду с максимум одним 0. $\phi = (X_1 \vee X_2 \vee \neg X_3 \vee \neg X_4)$ $\phi$

Редактировать: ой не заметил, что на этот вопрос уже ответили