Булевы функции, где чувствительность равна блочной чувствительности

Некоторая работа по чувствительности против чувствительности блоков была направлена ​​на изучение функций с максимально большим промежутком между и , чтобы развить гипотезу, что только полиномиально больше, чем . Как насчет противоположного направления? Что известно о функциях, где ?$s(f)$$bs(f)$$bs(f)$$s(f)$$s(f) = bs(f)$

Тривиально, постоянные функции имеют . Также тривиально, любая функция с также имеет . Нетривиально, но не слишком сложно показать, что любая монотонная функция также удовлетворяет этому равенству. Есть ли другие хорошие классы функций, которые имеют ? Полная характеристика была бы идеальной. Что если мы еще больше усилим требования к и ?$0=s(f)=bs(f)$$s(f) = n$$s(f) = bs(f)$$s(f) = bs(f)$$s^0(f) = bs^0(f)$$s^1(f) = bs^1(f)$

Мотивация для этого вопроса - просто понять, как чувствительность связана с чувствительностью блока.

Определения

Пусть - булева функция на битных словах. Для и , пусть х Обозначим п -битовый слово , полученное из х , переворачивая биты , установленные А . В случае, когда A = { i } , мы просто обозначим это как x i .$f:\{0,1\}^n\rightarrow \{0,1\}$$n$$x \in \{0,1\}^n$$A \subseteq \{0,1,\ldots,n\}$$x^A$$n$$x$$A$$A = \{i\}$$x^i$

Определим чувствительность $f$ в $x$ как $s(f,x) = \# \{ i | f(x^i) \neq f(x)\}$ . Другими словами, это число бит в которое мы можем перевернуть, чтобы перевернуть вывод . Определим чувствительность от как . $x$$f$$f$$s(f) = \text{max}_x s(f,x)$

Мы определяем чувствительность блока в$f$$x$ (обозначается как ) как максимум такой, что существуют непересекающиеся подмножества из такие что . Определим чувствительность блока из , как .$bs(f,x)$$k$$B_1, B_2, \ldots, B_k$$\{1,2,\ldots, n\}$$f(x^{B_i}) \neq f(x)$$f$$bs(f) = \text{max}_x bs(f,x)$

Наконец, мы определяем 0 чувствительность по $f$ как $s^0(f) = \text{max} \{ s(f,x) | f(x) = 0 \}$ . Аналогичным образом мы определяем 1-чувствительность , 0-блоковую чувствительность и 1-блоковую чувствительность , обозначаемую $s^1(f)$ , $bs^0(f)$ и $bs^1(f)$ соответственно.

Недавно я доказал, что s (f) = bs (f) для функций unate и функций однократного чтения над булевыми операторами AND, OR и EXOR, и моя статья, включая результаты, была принята в TCS 2014. ( http: // dx .doi.org / 10.1007 / 978-3-662-44602-7_9 )

Вы можете атаковать эту проблему. Если так, мне жаль, но я начал атаковать проблему самостоятельно, прежде чем вопрос был опубликован. Предварительная версия моей статьи была представлена ​​на внутреннем совещании в Японии в декабре 2013 года, а крайний срок представления был октябрь 2013 года. ( http://www.ieice.org/ken/paper/20131220DBID/eng/ )