Содержится ли

Я думал, что поделюсь этим вопросом, так как он может быть интересен для других пользователей здесь.

Предположим, что функция из однородного класса (например, ) также входит в небольшой неоднородный класс (например, , т. Е. Неоднородный ), означает ли это, что функция содержится в меньший однородный класс (как )? Если ответ на этот вопрос положительный, каков наименьший однородный класс сложности, содержащий ? Если отрицательный, можем ли мы найти интересный естественный контрпример? $NP$ $AC^0/poly$ $AC^0$ $P$ $NP \cap AC^0/poly$

Содержится ли в ? $AC^0/poly \cap NP$ $P$

Примечание: друг уже частично ответил на мой вопрос в автономном режиме, я добавлю его ответ, если он сам не добавит его.

Вопрос - моя вторая попытка формализовать следующий неформальный вопрос:

Может ли неравномерность помочь нам в вычислении естественных однородных задач?

Связанный:

Есть ли кандидат на естественную проблему в ? $P/poly−P$

cc.complexity-theory circuit-complexity uniformity

— Кава
источник

@Kaveh: Может быть, интересным вопросом было бы задать естественную проблему в P / poly и NP, но не в P. (Или, может быть, это слишком просто?)

— Робин Котари

@Robin: что кажется интересным, но я не уверен , что это было бы легче найти естественную проблему в

N P \cap P / p o l y - P

$NP \cap P/poly - P$

— Каве

@all: Мне нужно немного больше подумать об этом вопросе и ответах. Это кажется очень естественным вопросом. Но я чувствую себя неловко об ответах: во- первых, мы можем ослабить предположение, заменив

, где

является очень быстро растет функция; во-вторых, контрпример не только в

N E X P \neq E X P

$NEXP \neq EXP$

N T i m e (f) \neq D T i m e (f)

$NTime(f) \neq DTime(f)$

f

$f$

A C^{0} / p o l y

$AC^0/poly$ но имеет цепи размера 1, так как функция постоянна на всех входах размера

для всех

! Эти две причины могут говорить о том, что это неправильный вопрос.

n

$n$

n

$n$

— Каве

@Kaveh: Возможно, вы захотите взглянуть на класс YP, определенный Скоттом Ааронсоном. Это как P / Poly, но «совет» не доверяют. Другими словами, это похоже на то, как NP пересекает coNP, но свидетель может зависеть только от длины ввода. YP находится в P / poly, и является унифицированным классом. Возможно, проблема в YP, но не в P, является примером проблемы, которую вы ищете. Это было бы естественно, равномерно, не в P, в P / poly, и, возможно, нетривиально, так как совет должен быть проверен схемой.

— Робин Котари

@Kaveh: класс YP («Полиномиальное время Йоды») более формально определен в статье Скотта «Изучаемость квантовых состояний» [quant-ph / 0608142]

— Алессандро Косентино,

Ответы:

Вот упрощение ответа Райана. Пусть . Определите язык . Предположение переводит к . Кроме того, тривиально . $\Lambda \in NE \setminus E$ $L = \{x : |x| \in \Lambda\}$ $\Lambda \in NE \setminus E$ $L \in NP \setminus P$ $L \in AC^0/poly$

— Юваль Фильмус
источник

Хороший ответ Ювал!

— Dai Le

По существу, то же самое преобразование используется в книге 1974 года, чтобы показать, что E ≠ NE тогда и только тогда, когда NP ∖ P содержит язык подсчета.

— Цуёси Ито

Просто чтобы быть уверенным: правильно ли я понимаю, что

длина

написана в одинарном?

| x |

$|x|$

x

$x$

— Винсент

@ Vincent Здесь

- это строка, а не целое число, а

это его длина.

x

$x$

| x |

$|x|$

— Ювал Фильмус

да, это то, что смущает меня. Если

длина некоторой строки, то

целое число, так как это может быть элементом

| x |

$|x|$

| x |

$|x|$

Λ

$\Lambda$

— Винсент

Ответ на первый вопрос: кажется маловероятным.

Теорема: Если , то . $NP \cap AC^0/poly \subseteq P$ $NEXP = EXP$

Учитывая схему которая выводит бит, определите декомпрессию C как строку битов, полученную путем оценки на всех возможных входах. То есть декомпрессия представляет собой . $C$ $C$ $C(0^n) C(0^{n-1}1) C(0^{n-2}10) \cdots C(1^n)$

Определите задачу Сукцинкт 3SAT следующим образом: для схемы размера кодирует ли ее декомпрессия выполнимую булеву формулу? $C$ $n$ Известно, что сжатый 3SAT является полным комплектом $NEXP$

Теперь рассмотрим язык

{целое число записанное в двоичном виде, является экземпляром yes краткой 3SAT}. $L =$ $1^n |$ $n$

явно в , таквы можете просто жестко ли в , для каждого . $L$ $AC^0/poly$ $1^n$ $L$ $n$

$L$ $NP$ $n$ $\log n$ $O(n)$ $O(n)$

$L \in P$ $NEXP=EXP$ $O(n^c)$ $\log n$

Ваш второй вопрос широко открыт (и открыт).

— Райан Уильямс
источник

Почему вы должны принять некоторые полные проблемы?

— Юваль Фильмус

Думал, что это сделало аргумент легче следовать.

— Райан Уильямс

Спасибо Райан за ваш хороший ответ и объяснение. Думаю, вы не возражаете, если я приму ответ Ювала, хотя вы были первым, кто отправил сообщение.

— Каве

На вопрос Каве "Может ли неравномерность помочь нам в вычислении естественных однородных задач?"

$n$ $1$ $n$ $n^5$ $n$

Ссылки:

Фридхельм Мейер, Хайде, " Алгоритм полиномиального линейного поиска для n-мерной задачи о ранце ", 1984 г.

— Стасис
источник

n

$n$

2

$2$

2^{n}

$2^n$

1

$1$

N P \subseteq P / p o l y

$NP\subseteq P/poly$

@Kaveh: Но NP сам по себе является большим ИЛИ P. «Временная версия» P против NP такова: можем ли мы заменить это большое ИЛИ детерминированным алгебраическим деревом решений полиномиальной глубины (с P на листьях)? Напомним, что тривиальная глубина для Subset-Sum равна 2 ^ n (не n). Dopkin и Lipton (1978) показали, что глубина n ^ 2/2 необходима, и широко распространено мнение, что это можно улучшить до n ^ k для любого k. Mayer auf der Heide опроверг это мнение: достаточно k = 5. Таким образом, неравномерность МОЖЕТ помочь, если нас интересует глубина (время).

— Стасис