Точная сложность проблемы в

9

Позволять $x_i \in \{-1,0,+1\}$ за $i \in \{1,\ldots,n\}$ с обещанием, что $x = \sum_{i=1}^n{x_i} \in \{0,1\}$ (где сумма закончилась $\mathbb{Z}$ ). Тогда какова сложность определения, если $x = 1$ ?

Обратите внимание, что тривиально проблема заключается в $\cap_{m \geq 2}{\mathsf{AC}^0[m]}$ потому что $x \equiv 1\bmod{m}$ если . Вопрос в том, заключается ли проблема в ? Если так, то что за схема свидетельствует об этом? Если нет, то как это доказать? $x = 1$ $\mathsf{AC}^0$

— SamiD
источник

Эта проблема вполне может быть тривиальной, но я не знаю ответа и был бы очень заинтересован в ее знании.

— Самид

7

Вы можете использовать обычный аргумент переключения леммы. Вы не объяснили, как вы представляете свои входные данные в двоичном формате, но при любой разумной кодировке следующая функция AC -эквивалентна вашей функции: (мы предполагаем, что четное.) Следуя этим примечаниям к лекции , предположим, что можно вычислить с помощью схемы глубины размера . Тогда случайное ограничение входов оставляет функцию сложности дерева решений не более $^0$

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = {\begin{cases} 0 & if x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} + \dots - x_{n} = 0, \\ 1 & if x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} + \dots - x_{n} = 1, \\ ? & otherwise. \end{cases}

$f(x_1,\ldots,x_n) = \begin{cases} 0 & \text{if }x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + \cdots - x_n = 0, \\ 1 & \text{if }x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + \cdots - x_n = 1, \\ ? & \text{otherwise.} \end{cases}$

n

$n$

f

$f$

d

$d$

n^{b}

$n^b$

n - n^{1 / 2^{d}}

$n - n^{1/2^d}$

2^{d} (b + 1) + 1

$2^d(b+1)+1$ с вероятностью не менее . Расчет, вероятно, покажет, что это еще один экземпляр (с меньшим входным размером) с вероятностью , и поэтому существует некоторое случайное ограничение, которое выдает оба экземпляра на входов и функция с постоянной сложностью дерева решений, приводящая к противоречию. Тот же аргумент должен давать экспоненциальные нижние оценки.

1 - 1 / (3 n)

$1-1/(3n)$

f

$f$

Θ (1 / \sqrt{n})

$\Theta(1/\sqrt{n})$

f

$f$

n^{1 / 2^{d}}

$n^{1/2^d}$

— Юваль Фильмус
источник

Я думаю, что общая чувствительность этой функции также будет , так что вы, вероятно, могли бы использовать это, чтобы получить экспоненциальную нижнюю границу в моем ответе. Приведенный здесь результат использует теорему Линиала-Мансура-Нисана, которая сама использует лемму о переключении + простые оценки спектра функций с низкой сложностью дерева решений.

Θ (\sqrt{n})

$\Theta(\sqrt{n})$

— Сашо Николов

7

Я не думаю, что это в AC0, и я могу показать нижнюю границу для связанной задачи обещания различения между и , когда . Подобные методы Фурье должны применяться к вашей проблеме, но я не проверял это. Или, может быть, есть простое сокращение. $\sum x_i = 0$ $\sum x_i = 2$ $x \in \{-1, 1\}^n$

Предположим, что существует схема глубины размера , которая вычисляет функцию такую, что всякий раз, когда . Потому что для случайного вероятность того, что равна , и для каждого такого существует координаты, которые меняют значение , общее влияние равно $s$ $d$ $f: \{-1, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}$ $f(x) = \sum_i x_i$ $\sum_i x_i \in \{0,2\}$ $x$ $\sum_i x_i = 0$ $2^{-n} {n \choose n/2} \approx n^{-1/2}$ $x$ $n/2$ $f$ $f$ $\Omega(n^{1/2})$ , что примерно так же, как большинство (потому что вы включили большинство чувствительных входных данных большинства). По теореме Хастада (см. Colorraly 2.5 в заметках Райана О'Доннела ) это означает, что

s \geq 2^{Ω (n^{1 / (2 d - 2)})} .

$s \geq 2^{\Omega(n^{1/(2d-2)})}.$

— Сашо Николов
источник