Алгоритм линейного времени нахождения сдвинутого максимума

Предположим, что нам дан массив содержащий неотрицательные целые числа (не обязательно различающиеся).$A[1..n]$

Пусть будет отсортированным в неубывающем порядке. Мы хотим вычислить $B$$A$

Очевидным решением является сортировка $A$ а затем вычисление $m$ . Это дает алгоритм, который работает во времени $O(n \lg n)$ в худшем случае.

Можно ли сделать лучше? Можем ли мы вычислить $m$ за линейное время?

Мой главный вопрос - тот, что выше. Но было бы интересно узнать о следующем обобщении проблемы.

Пусть $B$ будет $A$ отсортированным согласно некоторому оракулу сравнения $\leq$ а $f$ - функция, заданная оракулом. Учитывая $A$ и оракулы для $\leq$ и $f$ , что мы можем сказать о времени, необходимом для вычисления $m = \max_{i \in [n]} f(B[i],i)$ ?

Мы все еще можем вычислить $m$ за $O(n \lg n)$ времени. Но можем ли мы доказать суперлинейную нижнюю оценку для этого обобщенного случая?

Если ответ «да», имеет ли место нижняя граница, если предположить, что - это обычный порядок на целых числах, а - «хорошая» функция (монотонная, полиномиальная, линейная и т. Д.)?$\leq$$f$

Мы можем вычислить за линейное время.$m$

Для простоты предположим, что массивы основаны на 0: , . Мы хотим вычислить .$A[0..n-1]$$B[0..n-1]$$m = \max_i B[i]+i$

Пусть . Очевидно, .$max = \max_i A[i]$$max \leq m$

Пусть будет после сортировки. Если то $A[j]$$B[k]$$A[j] \leq max - n$

Поэтому мы можем игнорировать когда . Нам нужно только рассмотреть числа в диапазоне .$A[j]$$A[j] \leq max - n$$[max-n, max]$

Мы можем использовать счетную сортировку, чтобы отсортировать числа в которые находятся в диапазоне за линейное время, и использовать отсортированный список для вычисления .$A$$[max-n, max]$$m$

Если массив состоит из различных целых чисел, то , поскольку расстояние между соседними элементами в не менее ; ситуация более интересна, когда они не должны быть отчетливыми.$A$$m = \max(A) + 1$$B$$1$

Для более общего вопроса, представьте ситуацию, в которой «интересна» только тогда, когда . Кажется возможным построить аргумент противника, который заставляет вас запрашивать для всех прежде чем вы сможете узнать , поэтому вам нужно отсортировать , чтобы найти ответ, который берет сравнений. (Есть некоторые сложности, так как это может быть случай, когда мы можем проверить, является ли в постоянном, а не линейном времени, путем запроса .) Это имеет место, даже если - многочлен (высокой степени).$f(B[i],j)$$i = j$$f(B[i],i)$$i$$\max_i f(B[i],i)$$A$$\Omega(n\log n)$$A[i] = B[j]$$f(A[i],j)$$f$