Сложность вычислений самого плотного второстепенного

13

Рассмотрим следующую проблему.
Вход: неориентированный граф . Вывод: граф который является младшим из с самой высокой граничной плотностью среди всех миноров , то есть с самым высоким отношением , $G=(V,E)$
$H$ $G$ $G$ $|E(H)|/|V(H)|$

Была ли изучена эта проблема? Это решаемо за полиномиальное время или NP-трудно? Что если мы рассмотрим классы ограниченных графов, такие как классы с исключенными минорами?

Если вместо этого мы попросим самый плотный подграф, то проблема разрешима за полиномиальное время . Если мы добавим дополнительный параметр и запросим самый плотный подграф с вершинами, задача будет NP-полной (это простое сокращение от -clique). $k$ $k$ $k$

— Себастьян Сибертц
источник

6

Моя статья «Плотности семейств минор-замкнутых графов» (Electronic J. Combinatorics 17 (1), Paper R136, 2010, combinatorics.org/Volume_17/Abstracts/v17i1r136.html ) о самых плотных минорах, но в семействах минор-замкнутых графов а не в отдельных графиках. Там вы можете найти что-то подходящее для вашего вопроса.

— Дэвид Эппштейн

Это кажется кое-чем связанным со следующим вопросом. Учитывая граф

каков размер самого большого минорного клика в

? Есть ли какие-либо результаты, известные для этого?

G

$G$

G

$G$

— Чандра Чекури

2

Самый большой минор клики - NP-полный. См. Мою статью «Трудно найти несовершеннолетних из крупных клик», J. Graph Алгоритмы и приложения 13 (2): 197-204, 2009, jgaa.info/accepted/2009/Eppstein2009.13.2.pdf

— Дэвид Эппштейн,

7

Хорошо, поскольку здесь до сих пор нет ответа, позвольте мне сделать хотя бы пару простых замечаний:

Для графов ограниченной ширины дерева должна быть возможность найти наиболее плотный минор (или даже минор с указанным числом ребер и вершин) с помощью обычной сортировки динамической программы на дереве, где каждое состояние динамической программы отслеживает число ребер и вершин в части минора, живущей в поддереве разложения, подмножество вершин в сумке разложения, участвующих в минор, эквивалентности между вершинами в этом подмножестве, вызванные незначительными сокращениями в целом график и уточнение этого отношения эквивалентности, вызванного сокращениями в части несовершеннолетнего, живущего в поддереве.

Если это так, из этого следует, что, когда плотность ниже трех, должна быть возможность найти самый плотный минор за полиномиальное время (с постоянным коэффициентом, который зависит от того, насколько близко к плотности три). Так как графы, у которых самый плотный минор имеет плотность имеют плоские запрещенные миноры и поэтому имеют ограниченную ширину дерева. $\le 3-\epsilon$

— Дэвид Эппштейн
источник

7

Я нашел тесно связанную проблему в статье Bodaender et. и др. , Они считают , что проблема под названием сокращение вырождение, т.е. задача решить для данного графа и , все ли миноры являются -degenerate. Теперь плотность ребер по всем подграфам графа и вырождение - это очень похожие понятия (если граф содержит подграф средней степени то он также содержит подграф минимальной степени ), и я думаю, что их доказательство можно изменить, чтобы показать что проблема поиска самого плотного несовершеннолетнего также NP-полна. $G$ $k\in \mathbb{N}$ $G$ $k$ $d$ $d/2$

$k$ $k$ $O(n^3)$

— Себастьян Сибертц
источник