Примеры «несвязанной» математики, играющей фундаментальную роль в TCS?

Пожалуйста, перечислите примеры, где теорема из математики, которая обычно не считалась применимой в информатике, была впервые использована для доказательства результата в информатике. Лучшими примерами являются те, где связь не была очевидной, но как только она была обнаружена, это, безусловно, «правильный путь» сделать это.

Это противоположное направление вопроса Приложения ТКС к классической математике?

Например, см. «Теорема Грина и изоляция в плоских графах» , где теорема об изоляции (которая уже была известна с помощью технического доказательства) повторно доказана с использованием теоремы Грина из многомерного исчисления.

Какие еще примеры есть?

Морис Херлихи, Майкл Сакс, Нир Шавит и Фотиос Захароглу получили премию Годеля в 2004 году за использование алгебраической топологии при изучении некоторых задач распределенных вычислений.

У меня есть пример из работы, которую я в соавторстве с Noga Alon и Muli Safra несколько лет назад:

Нога использовал теоремы о неподвижной точке алгебраической топологии для доказательства «теоремы о расщеплении ожерелья»: если у вас есть ожерелье с бусинками t-типов, и вы хотите разделить его части между b людьми, чтобы каждый получил одинаковое количество бусинок от каждого типа ( Предположим, что b делит t), вы всегда можете сделать это, разрезая ожерелье не более (b-1) t местах.

Мы использовали эту теорему для построения комбинаторного объекта, который мы использовали для доказательства твердости аппроксимации Set-Cover.

Еще немного информации здесь: http://people.csail.mit.edu/dmoshkov/papers/k-restrictions/k-rest.html

Оглядываясь назад, это может быть очевидным, но я всегда любил применение Стилом, Яо и Бен-Ор теоремы Олейника-Петровского / Милнора / Тома (ограничивающей числа Бетти для вещественных полуалгебраических множеств) для доказательства меньшего оценки в алгебраическом дереве решений и алгебраическом дереве вычислений.

Один из моих любимых результатов - использование топологических аргументов в доказательстве Ловаша гипотезы Кнезера и использование топологических ( и теоретико-групповых ) методов в атаке Кан-Сакса-Стертеванта на сильную гипотезу Аандера-Розенберга-Карпа о уклончивости ,

Теория представлений конечных групп используется в подходе Кона-Клейнберга-Сегеди-Уманса к умножению матриц . Они показывают, что если существуют семейства сплетений абелевых с симметричными группами, удовлетворяющие определенным условиям, то существуют алгоритмы матричного умножения квадратичной сложности.

Теория представлений (алгебраических групп) также проявляется в подходе Малмулей и Сохони к геометрической теории сложности для нижних оценок. Пока не ясно, считается ли это приложением, поскольку с этим подходом еще не доказано никаких новых результатов сложности, но по крайней мере была установлена ​​интересная связь между двумя областями, которые на первый взгляд кажутся совершенно не связанными.

Таких примеров много. Когда я впервые изучил теорию сложности, я обнаружил удивление, что основные теоремы о корнях многочленов (таких как лемма Шварца-Циппеля-ДеМилло-Липтона) имели какое-либо отношение к вопросу о том, могут ли интерактивные доказательства моделировать пространство многочленов ( ). Конечно, эти свойства полиномов уже использовались в предыдущей работе, и в настоящее время использование «полиномиализирующих» вычислений стало довольно стандартным в теории сложности.$IP = PSPACE$

Теория приближений (которая имеет дело с аппроксимацией, возможно, сложных или неестественных вещественных функций простыми функциями, такими как полиномы низкой степени), имеет много применений в сложности схем, сложности квантовых запросов, псевдослучайности и т. Д.

Я думаю, что одно из самых крутых применений инструментов из этой области исходит из этой статьи Бейгеля, Рейнгольда и Спилмана, где они показали, что класс сложности PP замкнут при пересечении, используя тот факт, что функция знака может быть аппроксимирована малым рациональная функция

Нисан, Сегеди и Патури показали нижние оценки для аппроксимации симметрических функций полиномами низкой степени. Этот метод часто используется для доказательства нижних границ сложности квантового запроса. См., Например, лекционные заметки Скотта Ааронсона .

Еще одна прекрасная идея: идея Яо использовать минимаксные принципы и доказательство того, что смешанные игры имеют равновесие (по существу, линейная двойственность программирования), чтобы показать нижние границы для рандомизированных алгоритмов (вместо этого создавая распределение по входам в детерминированный алгоритм).

Теоремы о неподвижной точке повсюду ...

Но довольно удивительным примером появления геометрии из ниоткуда является результат эффективного сравнения. Здесь, учитывая частичный порядок, определенный для набора из элементов, рассмотрим множество перестановок объектов, которые совместимы с данным частичным порядком. Вопрос состоит в том, чтобы выбрать наиболее эффективное сравнение, чтобы сделать следующее; то есть, какое сравнение уменьшило бы число перестановок, совместимых с новым частичным порядком (конечно, есть два возможных частичных порядка, в зависимости от результата этого единственного сравнения). Известно, что всегда есть сравнение, которое сокращает число перестановок на постоянный коэффициент (таким образом, вы можете отсортировать вO ( войдите n ! $n$$O(\log n!)$сравнения) Доказательство этого факта проходит через геометрию многомерных многогранников. В частности, в доказательстве используется неравенство Брунна-Минковского. Хорошая презентация этого - в книге Матоусека «Лекции по дискретной геометрии» (раздел 12.3). Оригинальное доказательство - Кан и Линиал, отсюда .

Существует множество областей применения теории информации в теоретической информатике: например, при доказательстве нижних границ для локально декодируемых кодов (см. Кац и Тревизан), в доказательстве Раза о теореме параллельного повторения, в сложности коммуникации (см., Например, поток работы по сжатию коммуникации, например, относительно недавняя работа Барака, Бравермана, Чена и Рао, и ссылки там), и еще много работы.

Алон и Наор использовали неравенство Гротендика, чтобы доказать алгоритм аппроксимации для задачи максимального разреза . Я думаю, что есть последующие работы на эту тему, но я не эксперт.

Интересно, что эта же теорема использовалась Кливом, Хойером, Тонером и Уотроусом для анализа квантовых игр XOR, а Линиал и Шрайбман использовали ее для сложности квантовой коммуникации. Насколько мне известно, связь между неравенством Гротендика и фундаментом квантовой физики была обнаружена Цирельсоном в 85 году, но два упомянутых мною результата конкретно касаются информатики.

Хорошим примером является теорема Баррингтона:

Если булева функция вычисляется по схеме глубины , то вычисляется по программе ветвления шириной 5 и длиной .д ф 4 $f$$d$$f$$4^d$

В доказательстве используется группа (поскольку она имеет два элемента, сопряженных друг с другом и их коммутатором), но она может быть обобщена для работы с любой неразрешимой группой.$S_5$

Бесстыдная заглушка: использование изотропной гипотезы (и выпуклой геометрии в целом) при разработке примерно оптимальных дифференциально-частных механизмов для линейных запросов в моей работе с Морицем Хардтом .

Чтобы частично ответить на вопрос Суреша выше, я думаю, что оригинальный вопрос немного сложен из-за того, что «его обычно не считают применимым в информатике». Некоторые из этих методов, которые могут казаться изначально «не связанными», со временем становятся «нормальными». Таким образом, наиболее успешные из этих методов (например, анализ Фурье в Кан-Калаи-Линиале, метрические вложения в Линиале-Лондоне-Рабиновиче) больше не являются правильными ответами.

Аддитивная комбинаторика / теория чисел часто использовалась в литературе экстракторов. Я думаю, что первые случаи происходят из того, что мы замечаем, что графы Пэли могут быть использованы в качестве хороших экстракторов, и некоторые открытые вопросы в теории аддитивных чисел означают лучшие. Самое раннее упоминание, которое я знаю, - это Цукерман 1990 (см. Его диссертацию ), но в последние несколько лет это была активная область, интересная между TCS и аддитивной комбинаторикой. (Одним из основных моментов является доказательство Двиром гипотезы Кекея о конечном поле, но это, конечно, вклад TCS в математику, а не наоборот.) A-priori непонятно, почему такие математические вопросы касаются сумм и произведений наборов, было бы важно для CS.

Sleator, Tarjan и Thurston доказали существование бесконечного семейства пар двоичных деревьев поиска с nвершинами и расстоянием вращения, 2n-6используя гиперболическую геометрию.

Аддитивная комбинаторика, используемая для построения явной матрицы RIP с строками:$o(k^2)$

Жан Бургейн, Стивен Дж. Дилворт, Кевин Форд, Сергей Конягин, Денка Куцарова: Преодоление барьера для явных матриц RIP. STOC 2011: 637-644.$k^2$

Линейная алгебра, используемая для разбора графов:

Джошуа Д. Батсон, Даниэль А. Спилман, Нихил Шривастава: Дважды рамануджан спарсификаторы. STOC 2009: 255-262.

Это может или не может считаться, но недавно теории Zermelo-Fraenkel с атомами (ZFA) и Fraenkel-Mostowski (FM) были применены для изучения абстрактного синтаксиса с привязкой имен. ZFA был представлен в начале 20-го века как инструмент для доказательства независимости CH, а затем о нем забыли, но он был вновь обнаружен в конце 1990-х годов двумя учеными-компьютерщиками - Габби и Питтсом - изучающими что-то совершенно не связанное.

См. Этот обзорный документ, например.

Кан и Ким применяют энтропию графа для сортировки по частичной информации (http://portal.acm.org/citation.cfm?id=129731). Они дали первый алгоритм полиномиального времени, который выполняет теоретически оптимальное (с точностью до констант) количество сравнений. Работа представляет собой небольшую учебную поездку по математике с использованием некоторых классических комбинаторных аргументов, а также выпуклой геометрии, энтропии графов и выпуклого программирования. Существует более новый более простой алгоритм, но мы все еще знаем, как его анализировать без энтропии графа.

Теория чисел использовалась для разработки RSA и других криптографических схем с открытым ключом.

Открытие умножения Карацубы было удивительным.