Является ли eta-эквивалентность для функций совместимой с операцией seke в Haskell?

Лемма: Предполагая, что эта эквивалентность у нас есть (\x -> ⊥) = ⊥ :: A -> B.

Доказательство: ⊥ = (\x -> ⊥ x)по eta-эквивалентности и (\x -> ⊥ x) = (\x -> ⊥)по сокращению под лямбду.

В отчете Haskell 2010, раздел 6.2, seqфункция определяется двумя уравнениями:

seq :: a -> b -> b
seq ⊥ b = ⊥
seq ab = b, если a ≠ ⊥

Затем он заявляет: «Как следствие, ⊥ - это не то же самое, что \ x -> ⊥, поскольку для их различения можно использовать seq».

У меня вопрос, действительно ли это является следствием определения seq?

Кажется, что неявный аргумент был seqбы не вычислимым, если seq (\x -> ⊥) b = ⊥. Однако я не смог доказать, что такое seqбыло бы неисчислимо. Мне кажется, что такое seqявляется как монотонным, так и непрерывным, что ставит его в область вычислимости.

Алгоритм, реализующий такие как сл может работать, пытаясь найти для некоторых , xгде f x ≠ ⊥, перечисляя область fначиная с ⊥. Хотя такая реализация, даже если это вообще возможно, становится довольно волосатой, когда мы хотим сделать ее seqполиморфной.

Есть ли доказательство того, что нет вычислимого, seqкоторый идентифицирует себя (\x -> ⊥)с ⊥ :: A -> B? Кроме того , есть некоторые строительства , seqчто делает идентифицировать (\x -> ⊥)с ⊥ :: A -> B?

Во-первых, давайте подробно рассмотрим, как seqотличить от λ x . ⊥ :$\bot$$\lambda x . \bot$

bottom :: a
bottom = bottom

eta :: a -> b
eta x = bottom

-- This terminates
fortytwo = seq eta 42

-- This does not terminate
infinity = seq bottom 42

Поэтому экспериментальным фактом является то, что в Хаскеле и λ x . Operation функционально различимы. Это также факт, и вполне очевидный, который вычислим, потому что Хаскелл вычисляет его. Так много о Хаскеле. Вы спрашиваете об очень конкретной формулировке документации на Haskell. Я прочитал это как высказывание, которое должно удовлетворять двум данным уравнениям, но этих двух уравнений недостаточно для определения . И вот почему: я могу дать вам две модели (просто типизированного) λ- исчисления, в которых вычислимо и удовлетворяет заданным уравнениям, но в одной из моделей ⊥ и λ x . $\bot$$\lambda x . \bot$seqseqseq$\lambda$seq$\bot$$\lambda x . \bot$ согласен, а в другом их нет.

В простой теоретико-доменной модели, где выражения интерпретируются в области непрерывных функций [ D → E ], имеем ⊥ = λ x . Obviously , очевидно. Возьмите эффективные домены Скотта или что-то подобное, чтобы все было вычислимо. Это легко определить в такой модели.$\lambda$$[D \to E]$$\bot = \lambda x . \bot$seq

Мы также можем иметь модель исчисления, в которой различаются ⊥ и λ x . ⊥ , и тогда, конечно, η- правило не может быть выполнено. Например, мы можем сделать это путем интерпретации функций в области [ D → E ] ⊥ , т. Е. Области функциональных пространств с присоединенным дополнительным дном. Итак, ⊥ - это дно [ D → E ] ⊥ , а λ x . ⊥ это элемент чуть выше него. Их нельзя отличить по приложению, потому что они оба оценивают$\lambda$seq$\bot$$\lambda x . \bot$$\eta$$[D \to E]_\bot$$\bot$$[D \to E]_\bot$$\lambda x . \bot$ , независимо от того, к чему вы их применяете (они вравной степени равны). Но у нас естькарта между доменами, и она всегда отличает дно от всех других элементов.$\bot$seq

Обратите внимание , что спецификация для seqкоторых вы цитируете это не его определение. Процитируем отчет Haskell «Функция seq определяется уравнениями : [а затем уравнениями, которые вы даете]».

Предполагаемый аргумент состоит в том, что seq будет невычислимым, если seq (\ x -> ⊥) b = ⊥.

Такое поведение будет нарушать спецификацию seq.

Важно отметить, что, поскольку он seqявляется полиморфным, seqего нельзя определить в терминах деконструкторов (проекции / сопоставление с образцом и т. Д.) Ни по одному из двух параметров.

Есть ли доказательство того, что не существует вычислимой последовательности, идентифицирующей (\ x -> ⊥) с ⊥ :: A -> B?

Если seq' (\x -> ⊥) bкто-то может подумать, что мы могли бы применить первый параметр (который является функцией) к некоторому значению, а затем выйти. Но, seqникогда не может отождествить первый параметр со значением функции (даже если это один для некоторого использования seq) из-за его параметрического полиморфного типа. Параметричность означает, что мы ничего не знаем о параметрах. Кроме того, seqникогда не может взять выражение и решить "это this?" (см. проблему Остановки), seqможно только попытаться оценить ее, а сама расходиться до ⊥.

Что seqнужно сделать, это оценить первый параметр (не полностью, а как «слабую головную нормальную форму» [1], то есть для самого верхнего конструктора), а затем вернуть второй параметр. Если первый параметр оказывается ⊥(то есть, не завершающее вычисление), то его оценка приводит seqк тому, что он не завершается, и, таким образом seq ⊥ a = ⊥.

[1] Бесплатные теоремы в присутствии seq - Johann, Voigtlander http://www.iai.uni-bonn.de/~jv/p76-voigtlaender.pdf

$\lambda x.\, \bot$$\lambda x.\, \bot$

Самсон Абрамский давно обдумал этот вопрос и написал статью под названием « Ленивое лямбда-исчисление ». Итак, если вы хотите формальные определения, это то, где вы можете посмотреть.

Доказательство того, что λ x. Ω ‌ ≠ Ω в является одной из целей, которые Абрамский ставит перед своей теорией ленивого лямбда-исчисления (страница 2 своей статьи , уже цитируемой Удаем Редди), потому что они оба находятся в нормальной форме со слабой головой. Что касается определения 2.7, он явно обсуждает, что эта-редукция λ x. M x → M, как правило, недопустимо, но это возможно, если M заканчивается в каждой среде. Это не означает, что M должна быть полной функцией - только то, что вычисление M должно завершиться (например, путем сокращения до лямбды).

Ваш вопрос, кажется, мотивирован практическими проблемами (производительность). Однако, хотя отчет по Хаскеллу может быть не совсем ясен, я сомневаюсь, что приравнивать λ x. ‌ ‌with produce создаст полезную реализацию Haskell; реализует ли он Haskell '98 или нет, остается спорным, но, учитывая замечание, ясно, что авторы предполагали, что это так.

Наконец, как seq генерировать элементы для произвольного типа ввода? (Я знаю, что QuickCheck определяет для этого произвольный класс типов, но вы не можете добавлять такие ограничения здесь). Это нарушает параметричность.

Обновлено : мне не удалось закодировать это право (потому что я не очень бегло говорю на Хаскеле), и для исправления этого требуются вложенные runSTобласти. Я попытался использовать одну ячейку ссылки (в монаде ST), чтобы сохранить такие произвольные элементы, прочитать их позже и сделать их общедоступными. Параметричность доказывает, что break_parametricityниже не может быть определено (за исключением возврата bottom, например, ошибки), в то время как он может восстановить элементы, которые сгенерирует ваш предложенный seq.

import Control.Monad.ST
import Data.STRef
import Data.Maybe

produce_maybe_a :: Maybe a
produce_maybe_a = runST $ do { cell <- newSTRef Nothing; (\x -> writeSTRef cell (Just x) >> return x) `seq` (readSTRef cell) }

break_parametricity :: a
break_parametricity = fromJust produce_maybe_a

Я должен признать, что я немного нечетко формализирую доказательство параметричности, необходимое здесь, но это неформальное использование параметричности является стандартным в Haskell; но из работ Дерека Дрейера я узнал, что необходимая теория быстро разрабатывается в последние годы.

правок:

• Я даже не уверен, нужны ли вам те расширения, которые изучаются для ML-подобных, императивных и нетипизированных языков, или же классические теории параметричности охватывают Haskell.
• Кроме того, я упомянул Дерека Дрейера просто потому, что только позже я наткнулся на работу Удея Редди - я узнал об этом только недавно из «Сущности Рейнольдса». (Я только начал действительно читать литературу по параметричности в прошлом месяце или около того).