Сложность топологической сортировки с ограниченными позициями

Мне дают в качестве входных данных DAG из n вершин, где каждая вершина x дополнительно помечена некоторым S ( x ) ⊆ { 1 , … , $G$$n$$x$ .$S(x) \subseteq \{1, \ldots, n\}$

Топологическим видом является биекция f из вершин G в { 1 , … , n } такая, что для всех x , y , если в G есть путь от x до y, то f ( x ) ≤ f ( y ) . Я хочу решить, существует ли топологический вид G такой, что для всех x , f ( x ) ∈ S ( $G$$f$$G$$\{1, \ldots, n\}$$x$$y$$x$$y$$G$$f(x) \leq f(y)$$G$$x$ .$f(x) \in S(x)$

Какова сложность этого решения проблемы?

[Примечания: ясно, что это в NP. Если вы посмотрите на график разрешенных пар вершин / позиций с ненаправленными ребрами между парами, которые конфликтуют из-за того, что они нарушают порядок, вы получите график непересекающихся клик, где вы хотите выбрать не более одной пары на клик, не более одной пары на положение и не более одной пары на вершину - похоже, это связано с 3-мерным сопоставлением, но я не могу понять, сложно ли еще с дополнительной структурой этой конкретной задачи.]

Я думаю, что эта проблема NP-сложная. Я пытаюсь набросать сокращение от MinSAT. В задаче MinSAT нам дают CNF, и наша цель - минимизировать количество удовлетворенных предложений. Эта проблема NP-сложная, см., Например, http://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/S0895480191220836?journalCode=sjdmec

Разделите вершины на две группы - одни будут представлять литералы, другие - клозами, поэтому где v - количество переменных в CNF (обычно обозначается n ), а c - количество предложений. Направьте ребро от каждой литеральной вершины до вершины предложения, где это происходит. Определите S для литеральной вершины, которая представляет x i как { i , i + v + k } (где k - произвольный параметр), поэтому либо f ( x $n=2v+c$$v$$n$$c$$S$$x_i$$\{i,i+v+k\}$$k$ и е ( ˉ х я ) = я + v + K или F ( ˉ х я ) = я и е ( х я ) = я + v + K . Для каждого выражения-вершины пусть S = { v + 1 , … , v + k , 2 v + k + 1 , $f(x_i)=i$$f(\bar x_i)=i+v+k$$f(\bar x_i)=i$$f(x_i)=i+v+k$ , так что k вершин-предложений являются `` маленькими ''.$S=\{v+1,\ldots,v+k,2v+k+1,\ldots,n\}$$k$

Теперь у CNF есть назначение, где по крайней мере предложений ложны тогда и только тогда, когда ваша проблема может быть решена для вышеупомянутого примера. Задача MinSAT состоит именно в том, чтобы проверить, есть ли в формуле CNF φ присвоение, которое делает как минимум k предложений ложными, поэтому это показывает, что ваша проблема является NP-сложной.$k$$\varphi$$k$

Чтобы помочь вам понять это сокращение, вот интуиция: маленькие метки ( ) соответствуют значению истины False, а большие метки ( v + k + 1 , … , 2 v + k ) соответствуют Правда. Ограничения для буквальных-вершин , чтобы каждый х я является истинным или ложным , и что ¯ х $1,2,\dots,v+k$$v+k+1,\dots,2v+k$$x_i$$\overline{x_i}$имеет противоположное значение истины. Ребра гарантируют, что если любой литерал имеет значение True, то всем вершинам-предложениям, содержащим его, также присваивается значение True. (В отличие от этого, если всем литералам в предложении присваивается значение False, тогда эта структура графа позволяет назначать вершина-предложение False или True.) Наконец, выбор гарантирует, что k вершин-предложений будет присвоено значение False и c - k из них назначены True. Таким образом, если существует верный топологический вид этого графа, то существует присваивание переменным, которое составляет не менее k из пунктов $k$$k$$c-k$$k$$\varphi$false (все вершины-предложения, которые были назначены False, плюс, возможно, некоторые из тех, которые были назначены True). И наоборот, если есть присваивание переменным, которое делает по крайней мере из пунктов φ ложным, то существует правильный топологический вид этого графа (мы заполняем метки для буквальных вершин очевидным образом; и для Каждое предложение в φ, которое является истинным, мы присваиваем его соответствующей вершине-предложению метку, которая соответствует Истине; другие вершины-предложения могут получать метки, соответствующие произвольному значению истинности).$k$$\varphi$$\varphi$

Обратите внимание, что если вы ослабите проблему, позволив быть произвольным (не обязательно биективным), то он становится полиномиальным. Алгоритм работает аналогично топологической сортировке: вы нумеруете вершины одну за другой, сохраняя множество U ненумерованных вершин, чьи соседние элементы были пронумерованы. По возможности вы выбираете вершину x ∈ U и нумеруете ее с наименьшим элементом в S ( x ), который больше, чем номера ее соседей. Нетрудно видеть, что экземпляр ( G , S ) имеет решение, если предыдущий алгоритм работал ( G $f$$U$$x \in U$$S(x)$$(G,S)$ заканчивается всеми пронумерованными вершинами.$(G,S)$

Тривиальное наблюдение состоит в том, что если для всех x , то эта задача разрешима за полиномиальное время путем сокращения до 2SAT.$|S(x)| \le 2$$x$

Вот как. Введем переменную для каждой вершины x и каждой i такой, что i ∈ S ( x ) . Для каждой пары вершин x , y , если существует путь от x до y , мы получаем некоторые ограничения: если i ∈ S ( x ) , j ∈ S ( y ) и i > j , то мы получаем ограничение ¬ V X , $v_{x,i}$$x$$i$$i \in S(x)$$x,y$$x$$y$$i\in S(x)$$j\in S(y)$$i>j$ . Биективность дает нам другой набор ограничений: для каждой пары x , y вершин с x ≠ y , если i ∈ S ( x ) и i ∈ S ( y ) , мы добавляем ¬ v x , i ∨ ¬ v y , i . Наконец, требование, чтобы каждой вершине была присвоена метка, дает нам еще один набор ограничений: для каждого x , если$\neg v_{x,i} \lor \neg v_{y,j}$$x,y$$x\ne y$$i \in S(x)$$i \in S(y)$$\neg v_{x,i} \lor \neg v_{y,i}$$x$ , мы получаем ограничение v x , i ∨ v x , j . (Обратите внимание, что только последний набор ограничений использует обещание, что | S ( x ) | ≤ 2 для каждого x .)$S(x)=\{i,j\}$$v_{x,i} \lor v_{x,j}$$|S(x)|\le 2$$x$

Я понимаю, что это наблюдение не поможет вам в вашей конкретной ситуации. Прости за это.