Простая проблема, разрешимость которой неизвестна

Я готовлюсь к выступлению, направленному на студентов по математике, и в рамках этого я рассматриваю возможность обсуждения концепции разрешимости. Я хочу привести пример проблемы, о которой мы пока не знаем, что она разрешима или неразрешима. Таких проблем много, но пока что ни одна из них не является хорошим примером.

Что такое простая для описания проблема, разрешимость которой открыта?

Матрица смертности Задача для матриц 2х2. Т.е., учитывая конечный список из 2x2 целочисленных матриц M ₁ , ..., M _k , можно ли умножить M _i в любом порядке (с произвольным количеством повторений), чтобы получить матрицу из всех 0?

(Известно, что случай 3х3 неразрешим. Случай 1х1, конечно, разрешим.)

ОБНОВЛЕНИЕ: проблема, которую я упомянул здесь, теперь, как известно, неразрешима! http://arxiv.org/abs/1605.05274 Более того, статья вдохновлялась чтением именно этого ответа. :)

Программисты из вашей аудитории по математике могут быть удивлены, узнав, что вопрос "является ли этот тип неявно конвертируемым в этот тип?" Не известно, чтобы быть разрешимым в любой из Java 5, C # 4 и Scala 2.

Для получения более подробной информации см. Статью Эндрю Кеннеди и Бенджамина Пирса «О разрешимости номинального подтипа с дисперсией» . В статье приводятся некоторые примеры дополнительных ограничений для систем типов этих языков, при которых номинальный подтип становится известным как разрешимый или известный как неразрешимый.

Интересно, что статья была написана задолго до того, как в C # были добавлены общая ковариация и контравариантность, но авторы правильно предвидели направление, в котором движется язык. (Это неудивительно; авторы разработали базовую поддержку дисперсии в CLR, которой я воспользовался, добавив дисперсию в C #! Они сделали тяжелую работу.)

Десятая проблема Гильберта о рациональных числах: «Есть ли у этого полиномиального уравнения рациональное решение?»

Проблема заданного линейного повторения вместе с его начальными значениями, принимает ли оно значение 0?

Две ссылки:

http://terrytao.wordpress.com/2007/05/25/open-question-effective-skolem-mahler-lech-theorem/

http://www.cs.ox.ac.uk/joel.ouaknine/publications/positivity12.pdf

Простая проблема, разрешимость которой неизвестна, заключается в следующем (я думаю, что она все еще открыта):

Бесконечные шахматы :

Входные данные : конечный список шахматных фигур и их начальных позиций на доске ; Вопрос : могут ли белые форсировать мат?$Z \times Z$

Если мы добавим ограничение, согласно которому белые должны спариться за ходов ( n является частью входных данных), то это становится разрешимым: см. Дэн Брумлев, Джоэл Дэвид Хэмкинс и Филипп Шлихт. Проблема взаимных шахмат в бесконечных шахматах разрешима. ,$n$$n$

Другая простая проблема - поведение муравья Лэнгтона на конечной начальной конфигурации.

Поведение муравья Лэнгтона с конечной поддержкой :

Квадраты на плоскости окрашены в разные цвета: черный или белый. Мы произвольно определяем один квадрат как «муравей». Муравей может путешествовать в любом из четырех основных направлений на каждом шаге, который он предпринимает. Муравей движется по правилам ниже:

• На белом квадрате поверните на 90 ° вправо, измените цвет квадрата, продвиньтесь на одну единицу
• На черном квадрате поверните на 90 ° влево, измените цвет квадрата, продвиньтесь на одну единицу вперед

Вход : конечная конфигурация (черно-белая) плоскости и положения муравья;
Вопрос : муравей всегда заканчивает строительство повторяющейся бесконечной "магистрали"?

Для бесконечной поддержки проблема неразрешима, см .: A. Gajardo, A. Moreira и E. Goles, Сложность муравья Лэнгтона

Задача Коллатца - это простая для описания задача, разрешимость которой открыта. Это предполагает простое повторение элементарных арифметических операций.

n / 2 для четного целого числа, 3 n + 1 для нечетного целого числа$f(n)=\mathsf{\{}$ $n/2$$3n+1$

Проблема состоит в том, чтобы решить, всегда ли при повторении этой функции возвращаться к 1 для заданного натурального числа .$n_0$

Интересно, что обобщение проблемы Коллатца оказалось неразрешимым.

Рекомендации:

1- Неразрешимые проблемы: образец, BJORN POONEN

2- Вайштайн, Эрик У. «Проблема Коллатца». Из MathWorld - веб-ресурс Wolfram.

3- Проблема 3X + 1: обзор , Джеффри С. Лагариас

Неизвестно, можно ли решить, может ли данная фигура покрыть плоскость .

Разрешимость конъюнктивного удержания запросов открыта уже более двадцати лет. Решение этой проблемы станет прорывом в теории баз данных.

$Q_1$$Q_2$$Q_1$$I$$Q_2$$I$

В конъюнктивных запросах используется AND для связи экзистенциально количественных предикатов. В терминах SQL конъюнктивные запросы - это запросы SELECT-FROM-WHERE, использующие "=" и "AND", но без подзапросов или агрегации. Это, пожалуй, самый распространенный вид запросов к базе данных, и включает в себя большинство запросов поисковых систем.

$I$$Q_1$$Q_2$

$\ne$

$(N,+,\times)$$(N,+,\times)$

Для ознакомления с обширной литературой и строгим обращением, см. Статью ToDS (в печати) некоторых людей.

$Q$$R$$Q$$Q \text{ AND } R$$Q$

Проблема корреспонденции с фиксированным числом плиток от 3 до 6.

Хотя это не совсем просто описать, у него есть очень «игривое» описание, и я считаю его подходящим для разговоров на уровне интуиции.

Обобщенная проблема высоты звезды: «Сколько вложений звезд Клини мне нужно, чтобы представить этот регулярный язык с регулярным выражением с дополняемым дополнением?»

Мы даже не знаем, верен ли алгоритм, который всегда возвращает 1 (кроме 0 для языков без звездочек, что является решаемым случаем).

Задача из теории автоматов.

$D$

$x$$D$$x$$x$$L(D) \cap Primes$

Комментарии: Первоначально я слышал эту проблему из ответа от Джеффри Шаллита об обмене стеками. Если вы знаете какие-либо ссылки на него, пожалуйста, дайте мне знать. Спасибо!

Похожие сообщения:

(1) Есть ли какие-либо открытые проблемы в отношении DFA?

(2) https://cs.stackexchange.com/questions/48084/determining-if-infinite-binary-language-dfas-contain-at-least-1-prime

Связанная работа: https://cs.uwaterloo.ca/~shallit/Papers/br10.pdf

«Минимальные элементы для простых чисел» К. Брайта, Р. Девиллера и Дж. Шаллита

Итерированные карты на интервале (описание здесь ):

(очень связано с проблемой, предложенной Магнусом Финдом)

$F$$x$$x$$x$$F(x)$$F(F(x))$$F$$x$$F$

$F$$x$$y$$x$$y$

$F$

$F$$x$$y$$x$$F$

Ссылка: Асарин 2011 .

Кажется, есть довольно естественный способ / угол для изучения этого вопроса, который используется по крайней мере в 3 статьях следующим образом.

$TM(k,l)$$k$$l$$k,l$$k,l$

результаты могут быть отображены в сетке, как в некоторых из следующих ссылок. также в промежуточной области фактически известно, что некоторые (неразрешенные) машины способны моделировать гипотезу Коллатца для некоторых входных данных.

поэтому, очевидно, существует явление, подобное «точке перехода», действующее здесь, но не в вычислимой области, а в необычном смысле между вычислимым и невычислимым.

• Небольшие машины Тьюринга и обобщенная бобровая конкуренция Мишеля

• Сложность небольших универсальных машин Тьюринга: обзор Вудса, Нири

• О границах разрешимости и неразрешимости в системах тегов. Теоретические и экспериментальные результаты Де Мол

$2^8$

Кроме того, в качестве примера «близкого промаха» или «открытого вопроса, который был решен относительно недавно после завершения ТМ», машина Wolfram 2,3 была признана универсальной в 2007 году за приз в 25 тысяч долларов . конкурс был объявлен в мае 2007 года, а конкурс был объявлен победителем Смитом в октябре 2007 года .

Существует довольно естественный способ сопоставить большинство открытых проблем с вопросами (не) разрешимости. как правило, не известно, что большинство открытых проблем доказуемо или недоказуемо.

в сети существует неформальное замешательство в отношении неразрешимости проблемы P vs NP , которая не является строго проблемой решения, поэтому говорить о ее неразрешимости технически некорректно. но, с другой стороны, между неразрешимостью и доказуемостью, похоже, существует тесная / естественная связь, как изложено ниже.

например рассмотреть

$L$$x$$O(n^x)$

этот язык разрешим? это вопрос о языке с открытой разрешимостью, который в основном тесно (даже практически идентичен) проблеме P против NP и присущей ему (не?) доказуемости.

что касается P против NP как «простого для описания», то для этого требуются только понятия ТМ , система обозначений времени исполнения Big O , недетерминизм, которые являются довольно простыми (некоторые из самых основных понятий TCS) и преподаются на уровне бакалавриата или которые являются одаренными ученик средней школы мог понять.

на самом деле NP против P / Poly также открыта и может быть отображена на открытый вопрос о разрешимости таким же образом, и это можно сформулировать как довольно простую проблему о росте минимальных (монотонных?) схем, чтобы признать NP завершенным проблемы (например, клики).