Твердость шумных булевых функций

Пусть - булева функция от n булевых переменных. Пусть g ( x ) = T ϵ ( f ) ( x ) будет ожидаемым значением f ( y ), когда y получается из x путем переключения каждой координаты с вероятностью ϵ / 2 .$f$$n$$g(x)=T_\epsilon (f) (x)$$f(y)$$y$$x$$\epsilon/2$

Меня интересуют случаи, когда в вычислительном отношении трудно приблизить . Позвольте мне зафиксировать понятие «приближения» (но могут быть и другие): булева функция h приближает g, если h ( x ) = 1, когда g ( x ) ≥ 0,9, и h ( x ) = 0, когда g ( x ) ≤ $g$$h$$g$$h(x)=1$$g(x)\ge 0.9$$h(x)=0$$g(x)\le 0.1$. Счетный аргумент (основанный на существовании положительных кодов, исправляющих ошибки скорости), по-видимому, указывает на наличие булевых функций, для которых любое такое приближение требует схемы экспоненциального размера. Но вопрос в том, что происходит, когда для начала находится в NP или в его окрестности.$f$

Q1: Есть ли пример того, как описывается схемой NP (или P-пространством), так что каждый h является NP трудным или жестким в некотором более слабом смысле.$f$$h$

Чтобы увидеть это $h$ не всегда может быть легко (я благодарю Джоен Хастад за полезное обсуждение о нем) можно рассматривать свойство графов , имеющую клику размера , для случайного ввода, можно предположить , что это трудно Определите, есть ли большая клика, но это проявляется в том, что на графике с шумом больше, чем ожидалось, клики размера log n. В этом случае любой h будет, вероятно, жестким (но не доказуемо и не ужасно сложным, как говорят квазиполиномиальные схемы).$n^{1/4}$$h$

Q2: Какова ситуация, если для начала низкая сложность. ( A C 0 , монотонный T C 0 , A C C и т. Д.)$f$$AC^0$$TC^0$$ACC$

Q3: Как обстоят дела с некоторыми основными примерами булевых функций? (Вопрос может быть распространен и на вещественную функцию.)

Q4: Можно ли задать вышеупомянутый вопрос формально для единой модели вычислений (машины Тьюринга)?

Обновление: учитывая ответ Энди (Привет, Энди), я думаю, что самый интересный вопрос - понять ситуацию для различных конкретных функций.

Обновление Еще один вопрос Q5 [Q1 для монотонных функций] (также с учетом ответа Энди). Какова ситуация, если является монотонным? Можем ли мы все еще надежно закодировать NP завершенные вопросы>$f$

на вопрос 1 ответ - да, и его можно показать следующим образом. (Я также буду неявно набрасывать утвердительный ответ на вопрос 4, так как аргумент является равномерным и будет обрабатывать все входные длины сразу.)

Исправьте любой NP-полный язык и семейство хороших двоичных кодов, исправляющих ошибки (например, со скоростью 1/4 и исправлением из доли ошибок .1). Пусть E n c n : { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } 4 n - функция кодирования для длины n ; мы используем некоторый такой код, где E n c = { E n c n } вычисляется с помощью равномерного алгоритма полиномиального времени.$L$$Enc_n: \{0, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}^{4n}$$n$$Enc = \{Enc_n\}$

Определите как набор строк z, которые находятся на расстоянии не более .05 | z | от кодового слова у ∈ Е н гр ( L ) , кодирующий некоторый элемент L . Заметим , что L ' в НП, как вы можете догадаться и проверить близлежащий кодовое слово, декодированного слово и сертификат NP для членства декодированной слово в L . $L'$$z$$.05 |z|$$y \in Enc(L)$$L$$L'$$L$

Тогда утверждается, что любое «приближение» в вашем смысле является NP-трудным для ε = .01 . Поскольку, если мы рассмотрим действительное кодовое слово y = E n c ( x ) некоторой длины 4 n , то с вероятностью 1 - o ( 1 ) по случайной ε- возмущенной версии y ′ of y оно будет не соответствовать y в не более чем .05 фракция координат, и поэтому будет не согласен с любым другим кодовым словом E n $L'$$\varepsilon = .01$$y = Enc(x)$$4n$$1 - o(1)$$\varepsilon$$y'$$y$$y$ в более чем 0,05 доли координат. Для такого у ' мы имеем у ' ∈ L ' тогдатолько тогда х ∈ L . Таким образом, если h - любое приближение к ε -сглаженной версии L ′ в вашем смысле, то мы должны иметь h ( y ) = L ( x ) . Поскольку E n c является эффективно вычисляемым, это дает нам возможность эффективно свести вопросы членства для L к вопросам для h . Так$Enc_n$$.05$$y'$$y' \in L'$$x \in L$$h$$\varepsilon$$L'$$h(y) = L(x)$$Enc$$L$$h$ NP-сложный.$h$

Две заметки:

(1) исправляющие ошибки кодировки экземпляров NP использовались ранее в нескольких статьях, в частности
Д. Сивакумар: О сопоставимых наборах членства. J. Comput. Сист. Sci. 59 (2): 270-280 (1999).

(2) рассмотренный выше аргумент, конечно, ничего не говорит о сложности среднего случая любой проблемы NP, поскольку исправление ошибок применяется в каждом конкретном случае.