О доказуемости P против NP

Прежде всего, мое понимание теоремы Гёделя о неполноте (и формальной логики в целом) очень наивно, а также мои знания в области теоретической информатики (имеется в виду только один выпускной курс, когда я еще студент), поэтому этот вопрос может быть очень наивно

Насколько я мог найти, доказуемость P против NP является открытой проблемой.

Теперь:

Первая теорема Гёделя о неполноте гласит, что могут быть утверждения, которые являются истинными, но не доказуемыми и не опровергаемыми.
Если для NP-полной задачи найдено полиномиальное решение, это доказывает, что P = NP.

Итак, предположим, что P = NP недоказуемо:
это означает, что не может быть найдено ни одного примера полиномиального решения для NP-полной задачи (в противном случае это было бы доказательством).
Но если не найден пример полиномиального решения для NP-полной задачи, это означает, что P = NP ложно (доказывая это, то есть утверждение доказуемо), что приводит к противоречию, поэтому P = NP должно быть доказуемо. ,

Это звучит как доказательство доказуемости P = NP для меня, но я думаю, что очень вероятно, что это из-за моего непонимания логических тем. Может ли кто-нибудь помочь мне понять, что не так с этим?

np-hardness proofs p-vs-np

— Alvaro
источник

См. Статью Скотта Ааронсона "Является ли P против NP формально независимым?"

— Марцио де Биаси,

Мне кажется, что у вас больше элементарной путаницы в том, как что-то может быть правдой, но недоказуемым. Пожалуйста, проверьте тур и справочный центр для объема этого сайта. Я думаю, что это больше подходит для информатики или математики .

— Каве

эта знаменитая статья Природные доказательства Разборова / Рудича применимы к этому вопросу

— vzn

Возможно, вас заинтересует монография Хартманиса «Возможные вычисления и доказуемые свойства сложности», в которой, по сути, обсуждается, что происходит, если мы рассмотрим только те проблемы, которые доказуемо связаны с P, доказуемо с точки зрения NP и т. Д.

— Джошуа Грохоу,

Ответы:

Если P = NP, должны быть алгоритмы полиномиального времени для NP-полных задач. Однако, возможно, не существует какого-либо алгоритма, который доказуемо решает NP-полную проблему и доказанно работает за полиномиальное время.

— Дэвид Ричерби
источник

Итак, что вы говорите, является ли недостаток в том, что может быть пример полиномиального решения, но вы не сможете доказать, что оно является полиномиальным? Потому что тогда это не рассматривается в доказательстве на примере, поэтому я все еще не вижу недостаток.

— Альваро

Предположим, что P = NP, но это не доказуемо. Это означает, что существует алгоритм полиномиального времени A для 3-SAT. Если бы вы могли доказать, что A был многовременным алгоритмом для 3-SAT, это противоречило бы недоказуемости P = NP. Поэтому, хотя верно, что A работает за полиномиальное время, и верно, что A решает 3-SAT, по крайней мере один из этих фактов не может быть доказан. Чтобы сформулировать это в терминах вопроса, тот факт, что алгоритм поли-времени для 3-SAT существует не означает, что один "может быть найден".

— Дэвид Ричерби

Таким образом, «Но если не найден пример полиномиального решения для NP-полной задачи, это означает, что P = NP ложно», неверно, потому что может быть решение, даже если оно не может быть найдено?

— Альваро

Это правильно.

— Дэвид Ричерби

Вы можете подумать о том, что означает «можно найти». в то время как вы можете перечислить на все машины Тьюринга, для каждой машины вы должны показать , что: существует целое и целое число , такое , что для всех целых чисел и всех входов размера , работает в время самое большее и решает 3SAT. такие заявления, как правило, не поддаются разрешению.

M

$M$

c

$c$

N

$N$

n \geq N

$n \geq N$

n

$n$

M

$M$

n^{c}

$n^c$

— Сашо Николов

Теорема Гёделя о неполноте на самом деле о доказуемости, учитывая теорию, обладающую достаточной выразительной силой, в результате вы получите некое утверждение, которое может быть верным в некоторых моделях и ложным в других, а следовательно, недоказуемым. В этом случае, если P против NP не может быть доказано, если вы считаете, что реальность является моделью математики, P = NP или P NP все равно должны быть верны в «нашем мире». Следовательно, как сказал Дэвид, либо полиномиального алгоритма не существует, но мы не сможем доказать это утверждение, либо полиномиальный алгоритм существует, но мы не сможем доказать, что он решает проблему или работает за полиномиальное время. , $\neq$

— Tpecatte
источник