Случайные функции низкой степени как вещественный полином

Есть ли (разумный) способ выбрать равномерно случайную булеву функцию , степень которой как вещественный полином не превосходит ? $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $d$

РЕДАКТИРОВАТЬ: Нисан и Сегеди показали, что функция степени зависит не более чем от координат, поэтому мы можем предположить, что . Проблемы, как я вижу, следующие: 1) С одной стороны, если мы выберем случайную булеву функцию для координат , то ее степень будет близка к , намного выше, чем . 2) С другой стороны, если мы выберем каждый коэффициент степени не более случайным образом, то функция не будет булевой. $d$ $d2^d$ $n \leq d2^d$ $d2^d$ $d2^d$ $d$ $d$

Таким образом, вопрос заключается в следующем: есть ли способ выборки логической функции низкой степени, которая позволяет избежать этих двух проблем?

randomness boolean-functions bounded-degree

— Игорь Шинкарь
источник

Вы хотите, чтобы фактическая функция была ограничением действительного полинома степени входами 0-1, или вы хотите, чтобы тогда и только тогда, когда для некоторого действительного полинома из степень не более ? Или что-то другое?

d

$d$

f (x) = 1

$f(x) = 1$

p (x) > 0

$p(x) > 0$

p

$p$

d

$d$

— Джошуа Грохов

@JoshuaGrochow Я хочу функцию, чье разложение Фурье имеет степень . Это ваш первый вариант.

d

$d$

— Игорь Шинкарь

Какая у тебя модель? Запись записанной функции занимает времени, или если вы хотите вывести разложение Фурье. Является ли фиксированной константой?

2^{n}

$2^n$

n^{O (d)}

$n^{O(d)}$

d

$d$

— MCH

Я добавил еще несколько деталей в вопрос.

— Игорь Шинкарь

@MCH Если функция степени (с нулевым весом выше уровня ), то она не может зависеть от более чем координат. Это результат Нисана и Сегеды. Подумайте об особом случае . В этом случае мы знаем, что функция зависит от (не более) 1 координаты.

d

$d$

d

$d$

d 2^{d}

$d2^d$

d = 1

$d=1$

— Игорь Шинкарь

Вот алгоритм, который побеждает тривиальные попытки.

Следующее является известным фактом (упражнение 1.12 в книге О'Доннелла): если $f:\{-1,1\}^n\to\{-1,1\}$ - булева функция, у которой степень $\le d$ является полиномом, то каждый коэффициент Фурье из $f$ , представляет собой целое число , кратное . Используя Коши-Шварца и Парсеваля, получаем, что существует не более ненулевых коэффициентов Фурье и $\hat{f}(S)$ $2^{-d}$ $4^d$ $\sum_{S}{|\hat{f}(S)|}\le 2^{d}$ .

Это предполагает метод выборки -

Выберите случайные неотрицательные целые числа $a_S$ для всех множеств $S\subseteq[n]$ размера не более $d$ , сумма которых до $\le 4^d$ .
Пусть $f(x) = \sum_{S}{\frac{a_S}{2^d} \chi_S(x)}$ .
Убедитесь, что $f$ логическое. Если так, верните $f$ . Иначе вернитесь к $1$ .

Обратите внимание, что для каждой степени $\le d$ полинома $f$ точно один выбор случайных целых чисел на шаге 1 сгенерирует полином $f$ . Вероятность получения определенной степени $\le d$ полинома равна

1 / (\binom{(\binom{n}{\leq d}) + 4^{d}}{4^{d}}) = 1 / O (n / d)^{d 4^{d}} .

$1/\binom{\binom{n}{\le d}+4^d}{4^d} =1/O(n/d)^{d4^d}.$ Следовательно, нам нужно повторить этот процесс самое большее

O (n / d)^{d 4^{d}}

$O(n/d)^{d4^d}$ раз, в ожидании, прежде чем остановиться.

Осталось показать, как выполнить шаг 3. Можно определить $A = \bigcup\{S:a_S\neq 0\}$ . Проверьте это $|A| \le d 2^d$ (который следует проводить с помощью нисан-Szegedy для каждой булевой функции) , а затем оценить $f$ на все возможные присвоения переменных в $A$ . Это можно сделать вовремя $2^{d 2^d}$ . Гур и Тамуз предлагают гораздо более быстрый рандомизированный алгоритм для этой задачи, однако, поскольку эта часть не доминирует во временной сложности, этого достаточно.

В целом алгоритм выдает случайную выборку степени $\le d$ полинома во времени $O(\frac{n}{d})^{d4^d}$ . В предположении, что $n \le d2^d$ временная сложность составляет $2^{O(d^2 4^d)}$ .

Это не полиномиальное время выборки алгоритма, хотя он гораздо быстрее , чем выборка совершенно случайная функции (в этом случае вероятность получения степени специфического $\le d$ полином $1/2^{2^n}$ ).

— Авишай Тал
источник

d

$d$

n = 10 d 2^{d}

$n = 10d2^{d}$