Преобразование Байгеля-Таруи из ACC

Я читаю приложение о АССЕ нижних границах для NEXP в Arora и Барак вычислительной сложности книги. http://www.cs.princeton.edu/theory/uploads/Compbook/accnexp.pdf Одна из ключевых лемм - это преобразование из цепей в полилинейные полиномы над целыми числами с полилогарифмической степенью и квазиполиномиальными коэффициентами или эквивалентно , класс цепей S Y M + , который является классом глубинных двух цепей с квазиполиномиальным числом логических элементов И на его нижнем уровне с полилогарифмическим разветвлением и симметричным затвором на верхнем уровне.$ACC^{0}$$SYM^{+}$

В приложении к учебнику это преобразование состоит из трех этапов, при условии, что набор ворот состоит из ИЛИ, mod , mod 3 и константы 1 . Первым шагом является уменьшение разветвления вентилей OR до полилогарифмического порядка.$2$$3$$1$

Использование Валиант-Вазирани Isolation лемму, авторы получаем , что дан логический элемент ИЛИ над входов вида вывода R ( х 1 , . . . , Х 2 K ) , если мы выбираем час быть попарно независимы хэш - функция от [ 2 k ] до { 0 , 1 } , то для любого ненулевого x ∈ { 0 , 1 } 2 k с вероятностью не менее 1 /$2^{k}$$OR (x_{1},...,x_{2^{k}})$$h$$[2^{k}]$$\{ 0,1 \}$$x \in \{0,1\}^{2^{k}}$ будет иметь место, что Σ i : h ( i ) = 1 x i mod  2 .$1/(10k)$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2$

Не является ли вероятность , по крайней мере 1 / 2 ? Представляется , что 1 / 10 K является слабой нижней гранью.$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2$$1/2$$1/10k$

Второй шаг - переход к арифметическим воротам и опускание умножений вниз. На этом этапе мы преобразуем логические схемы с заданной двоичной входной строкой в ​​арифметическую схему с целочисленным входом.

При этом они отмечают , что заменяется на 1 - х 1 х 2 ⋯ х к и М О Д р ( х 1 , . . . , Х к ) заменяется ( Σ я = 1 , . . . , к й я ) р $OR(x_{1},...,x_{k})$$1-x_{1}x_{2}\cdots x_{k}$$MOD_{p}(x_{1},...,x_{k})$ с использованием маленькой теоремы Ферма.$(\Sigma_{i=1,...,k} x_{i})^{p-1}$

Почему эта замена дает эквивалентную цепь ?$SYM^{+}$

Разве вероятность не меньше 1/2? Кажется, что 1 / ( 10 k ) является слабой нижней границей.$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$1/(10k)$

На самом деле ответ - нет. (Было бы , что имеет место с вероятностью по крайней мере 1 / 2 - е , если мы работали с й -biased хэш семейством, и , действительно , используя ε -biased хэша Функция дает возможность улучшить параметры построения. Но парная независимость не обязательно ε- смещена.)$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$1/2-\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$

Кажется, они пропустили еще один шаг здесь. Чтобы применить Valiant-Vazirani напрямую, вам также нужно будет случайным образом выбрать диапазон хэш-функции. Вместо того, чтобы выбирать случайные попарно независимые , кажется, вы должны выбрать случайные ℓ ∈ { 2 , … , k + 1 }, а затем выбрать случайные попарно независимые h : [ 2 k ] → { 0 , 1 } $h : [2^k]\rightarrow\{0,1\}$$\ell \in \{2,\ldots,k+1\}$$h : [2^k]\rightarrow \{0,1\}^{\ell}$ . (Здесь я намеренно использую высказывание Арора-Барака о Валиант-Вазирани, найденное на стр. 354.) будет числом x i = 1 . Валиант-Вазирани говорит, что если вы выбрали ℓ так , что 2 ℓ - 2 ≤ s ≤ 2 ℓ - 1 , то вероятность того, что Σ i : h ( i ) = 1 x i = 1 (по целым числам!), Равна по крайней мере 1 / 8 .$s$$x_i=1$$\ell$$2^{\ell-2} \leq s \leq 2^{\ell-1}$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} = 1$$1/8$

$\ell$$h: [2^k]\rightarrow\{0,1\}^{\ell}$$1/(8k)$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$\ell$$OR$$\ell$$2^k$$1/8$$O(k\log s)$$\{0,1\}$$O(k)$$O(\log s)$ hash functions in each set.

Why does this replacement give an equivalent SYM+ circuit ?

A SYM of AND (i.e, SYM+) circuit of size $K$ is essentially equivalent to having a multivariate polynomial $h : \{0,1\}^n \rightarrow \{0,\ldots,K\}$ with at most $K$ monomials, a lookup table $g : \{0,\ldots,K\}\rightarrow \{0,1\}$, and computing $g(h(x_1,\ldots,x_n))$. (For instance, a proof can be found in Beigel-Tarui.) The intuition is that each monomial in $f$ is an AND gate, and $g$ is the SYM gate. I say "essentially equivalent" because the multilinear polynomial $h$ could also have negative coefficients for some terms, and negative coefficents are not obviously implementable in SYM of AND. But I claim (and Beigel and Tarui claim) that this is not a problem. Think about it :)