Является ли

В опросе Д. Бера, Ф. Грина и С. Гомера «Квантовые схемы малой глубины» (стр. 36 ACM SIGACT News, июнь 2007 г., том 38, № 2) я прочитал следующее предложение:

Классическая версия (в которой вентили и имеют самое большее постоянное разветвление), очевидно, слабее, чем . $QAC^0$ $AND$ $OR$ $AC^0$

Ссылка на это требование отсутствует. Я назову этот класс , где означает «ограниченное разветвление». (Зоопарк Сложности закрыт, и я не могу проверить, есть ли такой класс в литературе). Если мы предположим неограниченное разветвление для входных битов, то эти схемы кажутся эквивалентными формулам с постоянной глубиной вплоть до полиномиального увеличения размера, поэтому приведенное выше утверждение не имеет смысла. Вместо этого, если мы предполагаем ограниченный разветвление для входных битов, то я не могу думать ни о каком языке, который отделяет этот класс от . Возможным кандидатом может быть язык , т. е. язык строк только с одним. Это легко показать $AC^0_{bf}$ $bf$ $AC^0$ $X := \{x | \mbox{weight}(x) = 1 \}$ $X \in AC^{0}$ , но мне не удалось доказать, что . $X \notin AC^{0}_{bf}$

Вопросы:

Действительно ли слабее, чем ? Если да, то есть какая-нибудь идея или какая-либо ссылка на то, как это доказать? И что это за язык, который разделяет эти два класса? А как насчет ? $AC^0_{bf}$ $AC^0$ $X$

cc.complexity-theory circuit-complexity

— Алессандро Косентино
источник

Ограничение разветвления входных битов сделает схему линейного размера. Любая функция

которая требует суперлинейного размера, будет разделять их.

A C^{0}

$AC^0$

— Каве

@Kaveh: Может быть , вы могли бы перепечатывать , что в качестве ответа, возможно с примером явной функции , которая требует супер-линейного размера

схем и может быть, ссылка , которая показывает размер нижней границы? (Или включите аргумент в свой ответ, если он очень прост?)

A C^{0}

$AC^0$

— Робин Котари

@Kaveh Спасибо. Я не знал, что разделение между

и линейными контурами постоянной глубины (по-видимому, называется

) было известно. Ссылка "Детерминированные ограничения в сложности схем" С. Чаудхури и Дж. Радхакришнана. @Kaveh Можете ли вы сделать свой комментарий ответом?

A C^{0}

$AC^0$

L C^{0}

$LC^0$

— Алессандро Косентино

Как обсуждалось в последующем вопросе cstheory.stackexchange.com/questions/7447/… ,

- это то же самое, что и формула линейного размера.

A C_{b f}^{0}

$AC^0_{bf}$

— Domotorp

Ограничение разветвления входных битов и вентилей сделает размер схемы линейным. Пусть будет границей разветвления ворот и входов. Это DAG с максимальной степенью выхода, ограниченной и максимальной длиной пути . Количество доступных проводов на каждом уровне можно увеличить раз, и количество доступных проводов на вершине , так что общее количество проводов в цепи не превосходит который является . $k$ $k$ $d$ $k$ $kn$ $kn \sum_{i=0}^d k^i \leq k^{d+1} n$ $O(n)$

Любая функция которая требует суперлинейного размера, будет отделять класс функций с ограниченным разветвлением (также применяется к входным битам) от . Вот некоторые примеры: $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{AC^0}$

[CR96]: функция которой требуется суперлинейный размер, равна $\mathsf{AC^0}$ приблизительный селектор $\frac{1}{4}$ . А -приближенный селектор - это любая функция, значение которой равно: $\frac{1}{4}$
- всякий раз, когда число с не более $0$ $1$ , $\frac{n}{4}$
- всякий раз, когда число с не более $1$ $0$ , $\frac{n}{4}$
- в противном случае может быть или . $0$ $1$
[Ros08] показывает, что клик имеет сложность функций ( входных битов являются возможными ребрами графа с вершинами). Это дает нижний предел размера суперлинии при . $k$ $\mathsf{AC^0}$ $n^{\Theta(k)}$ $n^2$ $n$ $k\gt 2$
Вероятно, можно обобщить пример в 2 банках на существование любой нетривиальной (требующей более одного бита) фиксированной индуцированной подструктуры в данной неупорядоченной структуре, например:
- существование пути длины 2 в данном графе,
- , $\#_1(x)=2$
поскольку они требуют суперконстантного числа вентилей в зависимости от бита, что невозможно в . $\mathsf{AC^0_{bf}}$
Самым простым примером является шлюз дубликатора, то есть шлюз, который создает копии своего входного бита. Это невозможно в поскольку только вентилей может зависеть от каждого входного бита. $\omega(1)$ $\mathsf{AC^0_{bf}}$ $O(1)$

Также любая схема размера может быть превращена в формулу размера не более и, следовательно, имеет формулу размера поэтому любая функция суперлинейного Сложность формулы не будет в . $\mathsf{AC^0_{bf}}$ $S$ $k^dS$ $\mathsf{AC^0_{bf}}$ $k^{2d+1}n$ $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{AC^0_{bf}}$

Ссылки:

[CR96] С. Чаудхури и Дж. Радхакришнан, « Детерминированные ограничения в сложности схем », 1996

[Ros08] Бенджамин Россман, " О постоянной глубине сложности k-Clique ", 2008

[Juk] Стасис Юкна, « Сложность булевой функции: достижения и границы », черновик

— Кава
источник

Более недавнее разделение между

следует из этого результата благодаря Бенджамину Россману. Он показывает, что для всей константы

(также некоторого растущего

) и константы

любая схема глубины

для

-клика на графе

вершин должна иметь размер

. Это означает , что иерархия языков принята

схемы размера

(для различных

L C^{0}

$LC^0$

A C^{0}

$AC^0$

k

$k$

k

$k$

d

$d$

d

$d$

k

$k$

n

$n$

Ω (n^{k / 4})

$\Omega(n^{k/4})$

A C^{0}

$AC^0$

n^{k}

$n^k$

k

$k$ ) на самом деле бесконечен.

— Srikanth

Я обновил ответ, благодаря Алессандро, Домоторпу, Робину, Сриканту и Стасису.

— Каве

@Kaveh: Хорошо, спасибо. Если вы найдете способ изменить результат Россмана, мне будет интересно услышать его. Что касается функции порога-2, я думаю, что мы можем показать, что она не в этом классе, отметив, что все функции в этом классе имеют формулы линейного размера, а порог-2 имеет нижнюю границу размера формулы

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

— Робин Котари

@Kaveh: Если под

вы подразумеваете путь длины

, вам следует иметь в виду, что для этих функций существуют схемы

размером

(это в основном вытекает из метода цветового кодирования Алон, Юстер и Цвик). Я не уверен, что техника Россмана дает такие ограничения (хотя я не знаю ни одной причины, почему это не должно).

P_{k}

$P_k$

k

$k$

A C^{0}

$AC^0$

2^{k} n^{O (1)}

$2^kn^{O(1)}$

— Srikanth

A C^{0}

$AC^0$