Расширение проблемы стабильного брака?

Это может звучать больше как вопрос социальных наук, чем вопрос TCS, но это не так. Читая « Рандомизированные алгоритмы », описывающие проблему стабильного брака, можно прочитать следующее (p54)

«Можно показать, что для каждого списка предпочтений существует, по крайней мере, один стабильный брак. (Любопытно, что это не так в гомосексуальном моногамном обществе с четным числом жителей) ....»

Существуют ли какие-либо очень простые расширения проблемы стабильного брака, которая допускает некоторый тип устойчивого состояния, который включает гомосексуальное моногамное общество или общество, в котором определенная часть населения следует другому набору правил, чем большая группа?

Утвердительно, есть ли алгоритмы, которые выполняют такое сопоставление?

Существует открытая гипотеза о 3 типах людей. Предположим, у вас есть мужчины, женщины и собаки, поэтому у мужчин есть списки предпочтений для женщин, для женщин - списки предпочтений для собак, а для собак - списки предпочтений для мужчин. Всегда ли стабильный брак?

(Для других структур предпочтений в обществе с 3 типами ответы известны как отрицательные).

Другой комментарий заключается в том, что стабильный брак представляет собой непустое ядро, и у Скарфа есть хорошо известное условие, подразумевающее существование непустого ядра. Известно, что условия Шарфа удовлетворяются для первоначальной проблемы стабильного брака и проблемы с распределением домов. (Но не удалось из-за проблемы мужчины / женщины / собаки).

Некоторые ссылки:

• $N$
• В статье показаны различные применения критической леммы Скарфа и приведено несколько других цитат: (В частности, приводится дробная версия теоремы Гейла-Шепли для гиперграфов Аарони и Хольцмана): Р. Ахарони и Т. Флейнер. О лемме. шарф, Дж. Комбин. Теория Сер. B 87 (2003), 72--80.
• Решение проблемы мужчин-женщин-собак, когда существует не более 4-х каждого пола, представлено в статье Eriksson et al. (Math Soc Sci 2006).

То, что вы спрашиваете, больше не называется «проблема стабильного брака». Напротив, это называется «проблема стабильных соседей по комнате». Согласно Википедии :

В математике, особенно в области теории игр и комбинаторики, проблемой стабильного соседа по комнате (SRP) является проблема поиска стабильного соответствия - соответствия, в котором нет пары элементов, каждый из другого сопоставленного набора, где каждый член пары предпочитает другого своему совпадению. Это отличается от проблемы стабильного брака тем, что проблема стабильных соседей по комнате не требует разбивки набора на мужские и женские подмножества. Любой человек может предпочесть кого-либо в том же наборе.

Это обычно заявляется как:

В данном случае проблемы стабильных соседей по комнате (SRP) каждый из 2n участников ранжирует остальных в строгом порядке предпочтений. Совпадение - это набор из n непересекающихся (неупорядоченных) пар участников. Сопоставление M в экземпляре SRP является стабильным, если нет двух участников x и y, каждый из которых предпочитает другого своему партнеру в M. Говорят, что такая пара блокирует M или является блокирующей парой по отношению к М.

Википедия обсуждает ответ на ваш вопрос. В нем говорится, что стабильный случай не всегда может быть найден, однако существует эффективный алгоритм, согласно Ирвингу (1985), который найдет такое соответствие, если оно есть.

Редактировать:

Несколько естественных расслаблений возможны для SRP: вместо того, чтобы требовать, чтобы «не было двух участников x и y, каждый из которых предпочитает другого своему партнеру в M», можно потребовать, чтобы:

1. По крайней мере, определенная часть людей будет довольна своими соседями по комнате. Здесь выполнимость может интерпретироваться по-разному. Например:
   • Пара (x, y) называется удовлетворенной, если y является первым выбором x, и наоборот.
   • Пара (x, y) называется удовлетворенной, если один из x или y является первым выбором другого.
   • Пара (x, y) называется неудовлетворенной, если существует пара (z, w) такая, что x любит z больше, чем y, и z любит x больше, чем w.
   • ...
2. По крайней мере, определенная часть людей будет недовольна своими соседями по комнате. (Это требование может отличаться от приведенного выше в зависимости от интерпретации выполнимости .)

$n$$m$