Когда делать

Равновесия Нэша вообще неисчислимы. $\epsilon$Равновесие по Нэшу - это набор стратегий, где, учитывая стратегии противников, каждый игрок получает в течение $\epsilon$максимально возможного ожидаемого вознаграждения. Нахождение$\epsilon$-Наш равновесия, учитывая $\epsilon$ и игра, это $\mathsf{PPAD}$-полное.

Строго следуя определениям, похоже, нет особых оснований полагать, что стратегии данного $\epsilon$Равновесие по Нэшу близко к стратегиям любого равновесия по Нэшу. Тем не менее, мы часто видим в литературе небрежно используемую фразу типа «приблизительно вычислить равновесие Нэша», когда это означает сказать «вычислить приближенное равновесие Нэша».

Итак, мне интересно, когда второе подразумевает первое; то есть для каких игр мы можем ожидать$\epsilon$- равновесия Нэша будут "близки" к равновесиям Нэша?

Более формально, предположим, у меня есть игра на $n$ игроки и последовательность профилей стратегии $(s_1^{(1)},\dots,s_n^{(1)}), (s_1^{(2)},\dots,s_n^{(2)}), (s_1^{(3)},\dots,s_n^{(3)}), \dots$,

каждый $(s_1^{(i)},\dots,s_n^{(i)})$ это $\epsilon_i$Равновесие по Нэшу и последовательность $\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3,\dots$ сходится к нулю.

Мои вопросы:

1. Когда (при каких условиях / предположениях) все стратегии сходятся? То есть для каждого игрока$j$, $s_j^{(1)},s_j^{(2)},s_j^{(3)},\dots$ обязательно сходится.

2. При каких дополнительных условиях предел этой последовательности фактически является равновесием по Нэшу в игре? (Мне кажется, что никаких дополнительных предположений не требуется; т. Е. Если все стратегии сходятся, предел должен быть NE.)

3. Когда работает алгоритм для вычислений $\epsilon$- равновесия Нэша обязательно подразумевают алгоритм приближенных вычислений стратегий равновесия Нэша? Достаточно ли вышеуказанных условий?

Огромное спасибо!

Редактировать 2014-03-19

После прочтения ссылки в ответе Рахула, кажется более разумным думать с точки зрения $\ell_1$расстояния между распределениями, а не сходящиеся последовательности. Поэтому я постараюсь перефразировать вопросы, а также изложить некоторые недавние мысли.

1. (Ну, это слишком зависит от алгоритма, чтобы действительно иметь ответ. Без ограничений на алгоритм, вы можете иметь два различных равновесия Нэша и затем, когда вы подключаете все меньше и меньше $\epsilon$ в алгоритм, $\ell_1$ расстояние между последовательными выходами может все еще быть большим, потому что выходы колеблются между равновесиями.)

2. предполагать $p$это профиль стратегии, то есть распределение продукта по стратегиям игроков. Для каких игр можно сказать, что$p$ является $\epsilon$-Наше равновесие подразумевает $\|p - q\|_1 \leq \delta$для некоторого равновесия по Нэшу , где как ? (Обратите внимание, что обратное имеет место, если выплаты ограничены )$q$$\delta \to 0$$\epsilon \to 0$$1$

   Это на самом деле сложно, потому что в настройке сложности, которую мы называем «игрой», мы на самом деле являемся последовательностью игр, параметризованных , количеством чистых стратегий («действий»). Так что как , и относительные показатели имеют значение. Вот простой контрпример, чтобы показать ответ не «все игры». Предположим, мы исправили последовательность убывания . Затем для каждого игру для двух игроков по действиям, где, если игрок играет первое действие, он получает выигрыш независимо от того, что играет другой игрок; если игрок играет второе действие, он получает выплату$n$$n \to \infty$$\epsilon \to 0$$\epsilon_1,\epsilon_2,\dots$$\epsilon_n$$n$$1$$1-\epsilon_n$независимо от того, что играет другой игрок; и если игрок выполняет какое-либо другое действие, он получает выплату независимо от того, что играет другой игрок.$0$

   Таким образом, каждая игра имеет -равновесие (оба играют второе действие), которое максимально далеко на расстоянии от своего единственного равновесия Нэша (оба играют первое действие).$n$$\epsilon_n$$\ell_1$

   Итак, два интересных подвопроса:

   1. Для фиксированной игры и фиксированного , будь то для «достаточно малого» вышеупомянутое условие выполнено (все -equilibria близки к равновесиям Нэша).$n$$\epsilon$$\epsilon$
   2. Возможно, по сути тот же вопрос, но выполняется ли условие, если различия в выплатах ограничены константой от .$n \to \infty$

3. Тот же вопрос, что и (2), но относящийся к фактическим равновесиям, вычисляемым алгоритмами. Я предполагаю, что, вероятно, мы либо получим алгоритмические / конструктивные ответы, либо не получим вообще, так что различие не имеет большого значения.

Следующая статья по крайней мере формализует понятие приближенных равновесий, близких к точным равновесиям, и доказывает некоторые связанные структурные результаты.

Пранджал Авастхи, Мария-Флорина Балкан, Аврим Блум или Ор Шеффет и Сантош Вемпала (2010). О равновесиях по Нэшу приближенно-устойчивых игр. В материалах Третьей международной конференции по алгоритмической теории игр (SAGT'10), 78-89.

В частности, в статье приведен пример класса игр для вопроса 3.