Есть ли объяснение сложности доказательства квадратичных нижних оценок для интересных задач NP?

Это продолжение моего предыдущего вопроса:

Лучшая известная нижняя оценка сложности времени для естественной задачи в NP

Я нахожу удивительным, что мы не смогли доказать какую-либо квадратичную детерминированную нижнюю границу для любой интересной проблемы NP, которая интересует людей и пытается разработать лучшие алгоритмы. Наша гипотеза об экспоненциальном времени гласит, что SAT не может быть решено за субэкспоненциальное детерминированное время, но мы даже не можем доказать, что SAT (или любая другая интересная проблема NP) требует квадратичного времени!

Я знаю, интересно, это несколько субъективно и расплывчато. У меня нет определения. Но позвольте мне попытаться описать то, что я считаю интересной проблемой: я говорю о проблемах, которые больше чем несколько человек находят интересными. Я не говорю об отдельных проблемах, в основном предназначенных для ответа на некоторые теоретические вопросы. Если люди не пытаются найти более быстрые алгоритмы для решения проблемы, это свидетельствует о том, что проблема не столь интересна. Если вам нужны конкретные примеры интересных проблем, рассмотрите проблемы в статье Карпа 1972 года или в работе Гэри и Джонсона 1979 года (большинство из них).

Есть ли какое-то объяснение тому, почему мы не смогли доказать какую-либо квадратичную детерминированную нижнюю границу времени для какой-либо интересной задачи NP?

— анонимное
источник

Потому что нижние границы это сложно? Какое объяснение удовлетворит вас?

— Джеффс

@ Jɛ ﬀ E как насчет нетривиальных объяснений, которые являются информативными и проницательными? Интуиция или результаты, объясняющие, почему мы застряли там, где мы находимся в доказательстве нижних границ. Поскольку наши требования были намного сильнее наших результатов, я уверен, что другие эксперты задумывались над тем, почему после десятилетий попыток мы не смогли получить квадратичную нижнюю границу для интересной проблемы NP.

— Аноним

Вот объяснение из блога Липтона; Приманка и переключатель: почему нижние границы так сложны? rjlipton.wordpress.com/2009/02/12/…

— Мохаммад Аль-Туркистани

n^{2}

$n^2$

Вопрос о нижних границах квадратичного времени актуален, когда вы ограничиваете алгоритмы очень небольшим (например, полилог) пространством, или когда вы смотрите на одноленточные машины Тьюринга (которые имеют очень ограниченный доступ к памяти). Но когда память неограничена, а доступ к памяти неограничен, «реальный» вопрос заключается в том, существуют ли суперлинейные нижние границы времени для интересных задач NP в любой вычислительной модели с произвольным доступом. (Гранджин доказал некоторые суперлинейные нижние оценки для многоленточных машин Тьюринга, но они полагаются на структуру одномерных лент.)

— Райан Уильямс

Ответы:

Вот объяснение из блога Липтона: Bait and Switch: Почему нижние границы так сложны?

$n^2$

Понимание Рудича объясняет, почему любое нижнее доказательство того, что оно основано на следующем методе, не может работать.

$f$ $f$

В принципе, нет никакого показателя прогресса, который мог бы пережить трюк Рудича с приманкой и переключателем и успешно привести к нижней границе.

— Мухаммед Аль-Туркистани
источник

Вы можете найти другой вид аргумента «наживки и переключателя» в естественных доказательствах главы Arora-Бараку. Они используют один и тот же аргумент, чтобы утверждать, что аргумент нижней границы стиля «формальная мера сложности» должен применяться к случайным функциям с высокой вероятностью. Но если формальная мера сложности

назначает высокую сложность случайной функции
не назначает высокую сложность легкой функции
может быть легко вычислено из таблицы истинности функции

тогда это может использоваться, чтобы сломать псевдослучайные генераторы. Это то, что является естественным барьером доказательства, неофициально. Мы утверждали, что 1. очень разумно для многих подходов к нижним пределам, без 2. мера сложности кажется бесполезной, и 3. основана на наблюдении, что мы смогли превратить большинство комбинаторных доказательств существования в эффективные алгоритмы, и на Интуиция о том, что по своей сути неконструктивное доказательство трудно найти.

$C$ $C'$ $C'$ $C$

— Сашо Николов
источник