Последствия аппроксимации детерминанта

$n\times n$ $\log^2(n)$ $1$ $\left\|A\right\|\leq 1$ $1/\text{poly}$

В этом отношении, какое «правильное» приближение нужно запрашивать - мультипликативное или аддитивное? (см. один из ответов ниже).

determinant cc.complexity-theory

— Лиор Эльдар
источник

Они должны быть в реальном ОЗУ?

$\:$

Я не уверен, что правильно понял вопрос, но если вы ссылаетесь на точность арифметики, то я бы предположил, что каждое действительное число хранится в log (n) битах.

— Лиор Эльдар

С риском неправильного понимания деталей вопроса: способность аппроксимировать детерминант в рамках любого фактора требует умения решать, является ли квадратная матрица единственной или нет, что должно иметь некоторые последствия.

Во-первых, он дает рандомизированный тест на то, имеет ли общий граф идеальное соответствие (через матрицу Тутте и Шварца-Циппеля). Я не думаю, что последнее известно в рандомизированном лог-пространстве (например, в Зоопарке Сложности перечисляются двудольные идеальные совпадения как сложные для NL).

— Магнус Вальстрём
источник

Спасибо Магнус, хотя я на самом деле думал об аддитивной ошибке аппроксимации, и в этом случае вам не нужно будет отдельно указывать, является ли матрица единственной или нет. Мультипликативное приближение также может представлять интерес, поэтому сейчас я не уверен, какое определение лучше.

— Лиор Эльдар

@LiorEldar, конечно, даже с аддитивной ошибкой аппроксимации, если записи в матрице являются целыми числами, а аддитивная граница ошибки меньше 0,5, у вас есть тест на исключительную надежность?

— Питер Тейлор

Привет, Питер Тейлор, я думаю, что для того, чтобы сказать, скажем, точность 0,5, сначала нужно как-то указать самую большую норму оператора, которую вы поддерживаете. Так, например, если ваш вход

имеет

, то ваша аддитивная ошибка определителя может быть

. Таким образом, даже если ваш ввод дается вам в виде усеченных целых чисел, каждое из

A

$A$

‖ A ‖ \leq 1

$\left\|A\right\|\leq 1$

1 / p o l y (n)

$1/poly(n)$

битов, тогда максимальная норма, для которой вы должны приблизить определитель, будет

в терминах целых чисел, что означает, что

l o g (n)

$log(n)$

n^{n}

$n^n$

0.5

$0.5$ ошибка аппроксимации намного меньше , чем

по отношению к

1 / p o l y (n)

$1/poly(n)$

‖ A ‖

$\left\|A\right\|$

— Лиор Эльдар

Я думаю, что проблема с аддитивной ошибкой относительно нормы в том, что она не очень хорошо масштабируется. Скажем, у меня был алгоритм, который давал ошибку аппроксимации

относительно

, Теперь пусть

будет

блок-диагональной матрицей, сформированной с использованием

копий

качестве блоков. Тогда

, но

1 / p o l y (n)

$1/poly(n)$

| | A | |

$||A||$

A^{'}

$A'$

n^{3} \times n^{3}

$n^3 \times n^3$

n^{2}

$n^2$

A

$A$

| | A | | = | | A^{'} | |

$||A||=||A'||$

, поэтому a

аддитивная ошибка для

масштабируется до

аддитивной ошибки для

det (A^{'}) = det (A)^{n^{2}}

$\det(A')=\det(A)^{n^2}$

| | A^{'} | | / p o l y (n)

$||A'||/poly(n)$

d e t (A^{'})

$det(A')$

O (1)

$O(1)$

d e t (A)

$det (A)$

— Кевин Костелло