В чем разница между стрелками и экспоненциальными объектами в декартовой замкнутой категории?

В декартовой Закрытой категории ( КТС ), существуют так называемые показательные объекты , написанных . Когда КТС рассматривается как модель просто-типизированных -исчисления , экспоненциальный объект как характеризует функциональное пространство от типа к типу . Экспоненциальный объект вводится стрелкой с именем и удаляется с помощью стрелки, называемой (которая, к сожалению, называется $B^A$ $\lambda$ $B^A$ $A$ $B$ $curry : (A \times B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow C^B)$ $apply : C^B \times B \rightarrow C$ $eval$ в большинстве текстов по теории категорий). Мои вопросы здесь: есть ли разница между экспоненциальным объектом и стрелкой ? $C^B$ $B \rightarrow C$

type-theory lambda-calculus ct.category-theory

— день
источник

В категории это экспоненциальный объект , но в теории типов его можно назвать экспоненциальным типом .

— Андрей Бауэр

Это не вопрос исследовательского уровня. Переехать на cs-exchange?

— Андреа Асперти

Один является внутренним, а другой - внешним .

Категория состоит из объектов и морфизмов. Когда мы пишем мы имеем в виду , что есть морфизм из объекта к объекту . Мы можем собрать все морфизмы из в в набор морфизмов , называемый "множеством гомов". Этот набор не является объектом , а является объектом категории наборов. $\mathcal{C}$ $f : A \to B$ $f$ $A$ $B$ $A$ $B$ $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$ $\mathcal{C}$

Напротив, экспонента является объектом в . Вот как думает о своих гом-множествах. Таким образом, должен быть снабжен любой структурой, которую имеют объекты . $B^A$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $B^A$ $\mathcal{C}$

В качестве примера рассмотрим категорию топологических пространств. Тогда является непрерывным отображением из в , а является множеством всех таких непрерывных отображений. Но , если он существует, является топологическим пространством! Вы можете доказать , что точки есть (во взаимно однозначном соответствии с) непрерывных отображений из в . На самом деле это в общем случае: морфизмы (которые являются «глобальными точками ») находятся в биективном соответствии с морфизмами , потому что $f : X \to Y$ $X$ $Y$ $\mathrm{Hom}_{\mathsf{Top}}(X,Y)$ $Y^X$ $Y^X$ $X$ $Y$ $1 \to B^A$ $B^A$ $A \to B$

ЧАС о м (1, В^{A}) ≅ ЧАС о м (1 \times A, В) ≅ ЧАС о м (A, В),

$\mathrm{Hom}(1, B^A) \cong \mathrm{Hom}(1 \times A, B) \cong \mathrm{Hom}(A, B).$

Иногда мы получаем неаккуратно о написании , в отличие от . Фактически, часто эти два являются синонимами, с пониманием, что может означать «о, кстати, здесь я имел в виду другие обозначения, так что это означает, что является морфизмом от к ». Например, когда вы записали морфизм карри вы действительно должны были написать Поэтому мы не можем никого обвинять в том, что мы здесь запутались. Внутренний используется во внутреннем смысле, а внешний - во внешнем. $B^A$ $A \to B$ $f : A \to B$ $f$ $A$ $B$

карри : (A \times В \to С) \to (A \to С^{В})

$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$

карри : С^{A \times В} \to {(С^{В})}^{A},

$\textit{curry}: C^{A \times B} \to {(C^B)}^A.$

\to

$\to$

Если мы работаем в простом наборе -calculus, то все, так сказать, внутреннее. У нас есть только базовое решение набрав « имеет тип », написанный , как . Поскольку здесь является типом, а типы соответствуют объектам, то мы явно должны интерпретировать любые экспоненты и стрелки в во внутреннем смысле. Итак, если мы понимаем как типовое суждение в -calculus, все стрелки являются внутренними, так что это так же, как Я надеюсь, что теперь понятно, почему люди используют $\lambda$ $t$ $B$ $t : B$ $B$ $B$

карри : (A \times В \to С) \to (A \to С^{В})

$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$

λ

$\lambda$

карри : ((С^{В})^{A})^{С^{A \times В}},

$\textit{curry}: ((C^B)^A)^{C^{A \times B}}.$

B^{A}

$B^A$ и как синонимы.

A \to B

$A \to B$

— Андрей Бауэр
источник

Спасибо за отличный ответ, полностью рассеивающий тайну.

— день

Верно! Отличное объяснение!

— Uday Reddy

Итак, что является внутренним, а что внешним?

— CMCDragonkai